Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение линейного коэффициента связи	Характеристика связи	Интерпретацию связи
r=0	отсутствует	-
0<r<1	прямая	с увлечением x увеличивается y
-1<r<0	обратная	с увеличением x уменьшается y наоборот
r=1	функциональная	каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака

Пример.

На основе выборочных данных о деятельности 6 предприятий одной из отраслей промышленности Российской Федерации оценить тесноту связи между трудоемкостью продукции предприятия (X, чел.-час.) и объемом ее производства (Y, млн. руб.)

Таблица 8.7.

Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции

№ п/п	Объем произведенной продукции, млн. руб., Y	Затраты на 100 изделий, чел.-час,X	yx	y2	x2
1 2 3 4 5 6	221 1070 1001 606 779 789	96 77 77 89 82 81	21216 82390 77077 53934 63878 63909	48841 1144900 1002000 367236 606841 622520	9216 5929 5929 7921 6724 6561
Сумма	4466	502	362404	3792338	42280
Средняя	744,33	83,67	60400,67	632056,33	7046,67

1. Используя формулу (8.4), получаем:

2. По формуле (8.5) значение коэффициента корреляции составило:

Таким образом, результат по всем формулам одинаков и свидетельствует о сильной обратной зависимости между изучаемыми признаками.

В случае наличия линейной или нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным группиров­ки, когда δ² характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от 1бщей средней:

(8.7)

где η- корреляционное отношение;

σ² - общая дисперсия;

σ¯² - средняя из частных (групповых) дисперсий;

δ² - межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних).

Все эти дисперсии есть дисперсии результативного признака.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

(8.7.)

где δ² - дисперсия выровненных значений результативного признака, то есть рассчитанных по уравнению регрессии;

σ² - дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака;

σ²_ост - остаточная дисперсия.

Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 (0≤ η ≤1)

Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости, то есть при исследовании трех и более признаков одновременно, вычисляется множествен­ный и частные коэффициенты корреляции.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между ка­ждой парой факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции для двух факторных признаков вычис­ляется по формуле:

(8.9.)

Где r_yxi - парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: О≤R≤1. Приближение R к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками.

На основе данных таблицы 8.4 рассчитаем коэффициент множественной корреляции:

Множественный коэффициент корреляции составит:

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками x₁ и x₂ при фиксированном значении других (k-2) факторных признаков, то есть когда влияние x₃ исключается, то есть оценивается связь между x₁ и x₂ в «чистом виде».

В случае зависимости у от двух факторных признаков x₁ и x₂ коэффициенты частной корреляции имеют вид:

(8.10.)

Где r - парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено влияние факторного признака х₂, во втором – х_1. На основании приведенных выше данных о зависимости трех факторов деятельности предприятий вычислим частные коэффициенты корреляции (табл. 8.4):