Параметрическая идентификация

Данный метод заключается в определении параметров модели по известной структуре, но параметры должны быть оптимальны в определенном смысле. Исходными данными являются наблюдения за входными и выходными величинами объекта.

Пример

0.63K

W(p)=K/(Tp+1) Необходимо по графику определить параметры К и Т.

К=У(); Т определяется по графику на месте пересечения прямой 0,63К и графика.

Идентифицируемость систем

Определение – система является идентифицируемой если по наблюдениям за вектором состояния можно восстановить значения параметров объекта (матрица коэффициентов А)

Критерий идентифицируемости -

Параметрическая идентификация может осуществляется по одной из двух схем реализации:

1). Явные методы идентификации.

2).Схема с настраевоемой моделью

Явные методы

1. Модель строится спустя некоторое время t.

2. Требует дополнительной памяти для накопления исх. данных и идентификации

3. Модель получается точной.

4. Математический аппарат: точные методы.

Схема с настр. моделью

1. Модель существует практически с первого шага, а потом лишьуточняется до определенной точности

2. Дополнительной памяти не требуется

3. Модель получается с определенной заданной точностью 

4. Математический аппарат: иррациональные методы

Критерий оптимальности при идентификации

В задачах идентификации У=f(E) – функция от ошибки Уextremum( min или max )

В зависимости от вида функции f определяется следующие критерии и соответствующие им методы идентификации:

1. Метод наименьших квадратов. У=Е^ТЕ min – не требует дополнительной амлеорной информации об объекте.

2. Обобщенный метод наименьших квадратов. У=Е^Т N Е N – ковариационная (матрица шума – когда на объект действует белый шум) состоит из коэффициентов ( зависит от помех по отношению друг к другу)

3. Максимальное правдоподобие У= f( E, N ,P) min – закон распределения шума.

1-ый метод применяется для детерминированных систем ( помехи незначительны и ими можно пренебречь. Если помехи оказывают влияние , то необходимо увеличить количество наблюдений, которые позволяют отфильтровать их.

2-ой,3-ий методы применяются для стохастических систем , где не только существуют помехи, но и сама модель описана вероятностной характеристикой.

Метод наименьших квадратов как основа регрессионного анализа

Регрессионная модель  y = a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ

Пример:

r

x₂

x₁

Данный метод идентификации применяется для линейных непрерывных систем, а для нелинейных систем существуют другие методы.

Идентификация нелинейных систем

Для этого применяются следующие подходы:

1. Частные решения нелинейных систем путем линеаризации.

2. Метод Виннера

3. Модель Гаммерштейна

4. Двухэтапная процедура идентификации

1) Частные решения нелинейных систем путем линеаризации

Путем математических преобразований приводим систему к линейному виду, которая идентифицируется методами линейных систем – т.е. регрессивными методами.

Апроксимация нелинойности полиномами

Пусть дана зависимость y=f(x)  составим таблицу 

x	y
x0	y0
…	…
xn	yn

Затем по интерполяционным формулам получаем функцию в виде полинома y=f(x)=a₀+a₁x+…a_nxⁿ

 введем переменные  u₁=x², u₂=x³,…,u_n-1=xⁿ  f(x)=a₀+a₁x+a₂u₁+a₃u₂+…+a_nu_n-1

2) Метод Виннера

Считается, что вид нелинейности неизвестен, данный метод основан на следующей процедуре 

Входной сигнал разлагается на функцию Лаггера Если к функции применить прямое преобразование Лапласа, то 

а _i- коэффициент Лаггера – выход каждого звена

Выходной сигнал определяется по формуле:

На практике данный метод применяется редко, т.к. отсутствует ясная связь между коэффициентом Лаггера и физическими параметрами объекта.

3) Модель Гаммерштейна

x=f(e) 

1) Если вид функции неизвестен – тогда подаются на вход различные сигналы U_i , и снимаются соответствующие сигналы е и х и составляется таблица

U	e	x
U0	e0	x0
…	…	…
Un	en	xn

Затем по интерполяционным формулам находим х= а₀+ а₁е +а₂е²+…+а_neⁿ  f(e)P_n(e)

После того, как нелинейность аппроксимирована полиномом, идентификация системы сводится к идентификации линейной части ( с помощью методов наименьших квадратов)

2) Если вид функции известен, то находим выходной сигнал х и задача сводится к задаче идентификации.