ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Теоретическая механика – это наука о наиболее общих законах механического движения и механического взаимодействия физических объектов.

Законы, понятия, принципы, теоремы и формулы, которые будут получены в теоретической механике, широко применяются в различных дисциплинах, изучающих механическое движение.

Например: гидроаэродинамика, сопротивление материалов, теория упругости, теория пластичности и ползучести, теория механизмов и машин, детали машин и др.

Изучение теоретической механики – в течение двух семестров.

Второй семестра заканчивается экзаменом, а третий – зачётом.

ЛИТЕРАТУРА

ОСНОВНАЯ

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 2002, 416с.

2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1990, 607с.

3. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. – СПб.: Лань, 2002, 764с.

4. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике. – СПб.: Лань, 2002, 448с.

5. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. – М. Интеграл-пресс, 2002. – 384 с.

6. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. – СПб.: Лань, 1995, 669 c.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. – СПб.:Лань, 2002, 729с.

2. Старжинский В.М. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1980, 464с.

3. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. – М.: Высшая школа, 1975, 248с.

4. Бутенин Н.В., Фуфаев Н.А. Введение в аналитическую механику. – М.: Наука, 1991, 255с.

Лекция 1

Общие понятия теоретической механики.

Кинематика точки.

Вопросы.

1. Общие понятия теоретической механики.

2. Способы задания движения точки.

3. Траектория точки и её определение.

4. Скорость точки.

5. Ускорение точки.

1. Общие понятия теоретической механики

ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ:

 материальная точка – тело, размерами которого можно пренебречь;

 механическая система – любая совокупность материальных точек;

 абсолютно твёрдое тело (твёрдое тело) – такая механическая система, расстояния между любыми двумя точками которой остаются постоянными.

МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ – изменение положения одного физического объекта относительно других, или изменение взаимного расположения частей одного физического объекта (деформация).

Из определения следует, что понятие механического движения – это понятие относительное: нужно задать «другие» физ. об-ты, относительно которых определяется изменение положения заданного.

Совокупность объектов, относительно которых определяется изменение положения заданного объекта, образует систему отсчёта.

Говорить о конкретном механическом движении можно только после задания системы отсчёта!

МЕХАНИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ – такое взаимодействие физических объектов, в результате которого происходит изменение механического движения объектов.

Количественной мерой механического взаимодействия является сила.

Вместо «тело участвует в механическом взаимодействии» на практике часто говорят: « на тело подействовала сила»

Сила на объект может действовать в течение какого-то промежутка времени, т.е. объект непрерывно участвует в механическом взаимодействии в течение этого промежутка времени.

СВЯЗЬ – любое ограничение на механическое движение объекта.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

КИНЕМАТИКА КИНЕТИКА

СТАТИКА ДИНАМИКА

КИНЕМАТИКА

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

2. Способы задания движения точки.

Задать движение точки – это значит указать правило, по которому в любой момент времени можно определить её положение в заданной системе отсчёта.

Математическое выражение этого правила называется законом движения, или уравнением движения точки.

Существует три способа задания движения точки:

векторный;

координатный;

естественный.

Чтобы задать движение векторным способом, нужно:

 выбрать неподвижный центр;

 положение точки определить с помощью радиус-вектора , начинающегося в неподвижном центре и заканчивающемся в движущейся точке М;

 определить этот радиус-вектор как функцию от времени t: .

Выражение

11\* MERGEFORMAT ()

называется векторным законом движения точки, или векторным уравнением движения.

!! Радиус-вектор – это расстояние (модуль вектора) + направление от центра О на точку М, которое можно определять разными способами, например, углами с заданными направлениями.

Чтобы задать движение координатным способом, нужно:

 выбрать и зафиксировать систему координат ( любую: декартову, полярную, сферическую, цилиндрическую и проч.);

 определить положение точки с помощью соответствующих координат;

 задать эти координаты, как функции от времени t.

В декартовой системе координат, таким образом, надо указать функции

22\* MERGEFORMAT ()

В полярной системе координат следует определить как функции от времени полярный радиус и полярный угол:

33\* MERGEFORMAT ()

В общем, при координатном способе задания следует задавать как функции от времени те координаты, с помощью которых определяется текущее положение точки.

Чтобы можно было задавать движение точки естественным способом, нужно знать её траекторию. Запишем определение траектории точки.

Траекторией точки называется множество её положений за какой-либо промежуток времени (обычно – от 0 до +).

В примере с катящимся по дороге колесом траекторией точки 1 является циклоида, а точки 2 – рулетта; в системе отсчёта, связанной с центром колеса, траектории обеих точек – окружности.

Чтобы задать движение точки естественным способом, нужно:

 знать траекторию точки;

 на траектории выбрать начало отсчёта и положительное направление;

 определить текущее положение точки длиной дуги траектории от начала отсчёта до этого текущего положения;

 указать эту длину как функцию от времени.

Выражение, определяющее указанную выше функцию,

44\* MERGEFORMAT ()

называют законом движения точки по траектории, или естественным уравнением движения точки.

В зависимости от вида функции (4) точка по траектории может двигаться различным образом.

3. Траектория точки и её определение.

Определение понятия «траектория точки» был дано ранее в вопросе 2. Рассмотрим вопрос об определении траектории точки при разных способах задания движения.

Естественный способ: траектория должна быть задана, так что находить её не надо.

Векторный способ: нужно перейти к координатному способу согласно равенствам

Координатный способ: нужно из уравнений движения (2), или (3) исключить время t.

Координатные уравнения движения задают траекторию параметрически, через параметр t (время). Для получения явного уравнения кривой надо параметр исключить из уравнений.

После исключения времени из уравнений (2) получаются два уравнения цилиндрических поверхностей, например, в виде

Пересечение этих поверхностей и будет траекторией точки.

При движении точки по плоскости задача упрощается: после исключения времени из двух уравнений

55\* MERGEFORMAT ()

уравнение траектории получится в одной из следующих форм:

66\* MERGEFORMAT ()

или

77\* MERGEFORMAT ()

или

88\* MERGEFORMAT ()

ПРИМЕРЫ.

1. 

При будет , поэтому траекторией точки будет правая ветвь параболы:

2. 

Из уравнений движения следует, что

поэтому траекторией точки будет часть параболы, расположенная в правой полуплоскости:

3. где

Тогда получим

Так как то весь эллипс будет траекторией точки.

При центр эллипса будет в начале координат О; при получим окружность; параметр k на форму эллипса не влияет, от него зависит скорость движения точки по эллипсу. Если в уравнениях поменять местами cos и sin, то траектория не изменится (тот же эллипс), но изменится начальное положение точки и направление движения.

4. Скорость точки

Скорость точки характеризует «быстроту» изменения её положения. Формально: скорость – перемещение точки за единицу времени.

Точное определение.

Тогда Отношение

99\* MERGEFORMAT ()

называется средней скоростью за промежуток времени t.

Переходя в (9) к пределу при получим

1010\* MERGEFORMAT ()

получим мгновенную скорость точки, или скорость точки в данный момент, или скорость точки.

Так как

то, окончательно,

1111\* MERGEFORMAT ()

Видно, что при секущая, по которой направлен вектор , стремится к касательной к траектории точки. Следовательно,

вектор скорости точки всегда направлен по касательной к её траектории.

При координатном способе задания движения в декартовой системе координат вектор скорости определяется по проекциям на оси координат:

1212\* MERGEFORMAT ()

Модуль (величина) скорости

1313\* MERGEFORMAT ()

При естественном способе задания движения будет

где – единичный вектор касательной, а

В этом равенстве – приращение длины дуги траектории точки.

Тогда, окончательно,

1414\* MERGEFORMAT ()

Выражение

1515\* MERGEFORMAT ()

–это проекция вектора скорости на касательную, а

1616\* MERGEFORMAT ()

это модуль (величина) скорости.

5. Ускорение точки.

Ускорение точки характеризует «быстроту» изменения скорости точки.

Формально: ускорение – это изменение скорости за единицу времени.

1717\* MERGEFORMAT ()

среднее ускорение точки за промежуток времени , а

1818\* MERGEFORMAT ()

называется ускорением точки в данный момент времени, или мгновенным ускорением точки, или, просто, ускорением точки.

Из (18) видно, что вектор ускорения определяет изменение скорости точки как по модулю, так и по направлению.

29