Общие правила построения фазовых траекторий:

1. В верхних квадрантах направление фазовой траектории определяется слева направо, т.е. в сторону переменной x₁, соответственно

2. В нижних квадрантах направление фазовой траектории определяется справа налево, т.е. x₁ уменьшается и

3. Фазовая траектория пересекает ось абсцисс под углом , т.к. аналитическое выражение в этом случае

4. Фазовые траектории имеют особые точки, в которых возникает неопределенность следующего вида В них направление не определено. Особые точки характеризуют состояние равновесия. Если фазовые траектории сходятся к особым точкам, то такая точка характеризует особое равновесие системы. Если фазовые траектории исходят из особых точек, то эта точка характеризует неустойчивое равновесие.

5. Фазовые траектории могут ограничить предельный цикл. Для линейных систем предельный цикл характеризует движение на границе колебательной устойчивости. Для нелинейной системы предельный цикл характеризует режим автоколебаний, при этом амплитуда автоколебаний равна половине наибольшей оси овала.

С истема второго порядка (линейная) может иметь два корня: положительный и отрицательный. Фазовая траектория имеет вид:

Особенности фазовых портретов для нелинейных систем.

1. В общем случае для нелинейных систем предельные циклы, а также фазовые траектории имеют точки излома, что обусловлено нелинейными характеристиками системы.

2. Нелинейные системы, имеющие нелинейные элементы, зоны нечувствительности, имеют фазовые траектории отрезок, состоящий из особых точек.

3. Для нелинейных характеристик неустойчивых в малом, но устойчивых в большом, следующая фазовая траектория:

Д ля нелинейных систем, устойчивых в малом и неустойчивых в большом, фазовая траектория внутри предельного цикла, является раходящейся, но до определенных пределов, а именно до предельного цикла. Фазовая траектория вне предельного цикла является сходящейся к данному предельному циклу.

4. Фазовая траектория у нелинейных систем, устойчивых в малом, но не устойчивых в большом имеет следующий вид.

Фазовая траектория внутри цикла является сходящейся к особой точке. Фазовая траектория вне предельного цикла расходящейся.

3 и 4 являются полуустойчивыми системами (устойчивыми в малом или большом). Для таких систем всегда имеет место фазовая траектория сепаратрисса , которая разделяет фазовое пространство на области устойчивости и неустойчивости.

5. Для нелинейных устойчивых систем в целом фазовые траектории сходятся к особым точкам, по аналогии с линейными системами.

6. Режим автоколебаний характеризуется устойчивым предельным циклом, т.е. фазовые траектории имеют вид предельного цикла.

Пример:

u=0

x= z

y=csign(x)

x₁=0

Т.о. метод фазовых траекторий является графоаналитическим методом удобным для исследования нелинейных систем второго порядка, для анализа их составляется .

x₁  выходная переменная системы.

По уравнению строятся фазовые траектории, анализ которых позволяет определить устойчивость и неустойчивость системы, а также режим автоколебаний. Параметры предельного цикла определяют амплитуду и частоту автоколебаний.