Классификация нелинейных систем.

1. Существенные харктеристики это такие нелинейные характеристики, которые не могут быть представлены в линейном виде.

Несущественные нелинейные характеристики нелинейные характеристики, которые могут быть аппроксимизированы линейной характеристикой с небольшой погрешностью.

2. Характер происхождения нелинейности.

Естественные это САУ, в которых нелинейности обусловлены режимом формирования объекта.

Искусственные это САУ, в которых нелинейности вводится искусственно для придания динамическим характеристикам определенный характер.

3. Зависимость от времени.

Статические нелинейные характеристики, которые не зависит от времени.

Динамическиенелинейные характеристики, которые не зависят от времени.

4. Неоднородность нелинейной характеристики.

Однородные характеристики (*).

Неоднородные характеристики (**)

Типовые нелинейности

1. Релейная характеристика.

2. Трехпозиционная релейная характеристика.

3. Двухпозиционная неоднородная линейная характеристика.

4. Нелинейность типа ограничения (насыщения).

5. Нелинейность типа модуль.

6. Нелинейность типа диод.

7. Линейная характеристика зоны нечувствительности.

8. Люфт.

Н а структурных схемах:

Структурные преобразования нелинейных систем

1 .

y=F(x)=F₂(F₁(x))

2. 2. y=F(x)=F₁(x)+F₂(x)

3. 3.

4 .

5.

4) и 5) только для статических нелинейных характеристик. Для динамических характеристик эти преобразования будут справедливы при одинаковых н.у. функций и .

Пример.

Нелинейную систему можно привести к виду:

Типовой вид необходим для анализа нелинейной системы.

При анализе нелинейной системы решаются следующие задачи:

1. Определение равновесных состояний и взаимосвязи параметров нелинейной системы обеспечивает устойчивое равновесное состояние.

2. Определение режима автоколебаний и значения параметров нелинейной САУ, обеспечивающих режим автоколебания.

Рассмотрим следующие методы анализа нелинейной системы:

1. Метод фазовых траекторий.

2. Метод гармонической линеаризации.

3. Метод припасовывания.

Метод фазовых траекторий (Андронников) это графоаналитический метод; поведение системы оценивается по фазовым траекториям.

Допустим, что динамика системы описывается нелинейным дифференциальным уравнением:

где f нелинейная функция.

Сведем наше уравнение к системе уравнений:

Вектор состояния:

В любой момент времени вектор состояния определяет точку в n-мерном пространстве, которое называется фазовым пространством. Если изменить время от нуля до определенного значения, то получим фазовую траекторию, т.е. линию, соединяющую точки для каждого момента времени. Данная фазовая траектория зависит от н.у. нелинейной системы. Совокупность фазовых траекторий, соответствующая различным н.у. образует фазовый портрет нелинейной системы. Метод фазовых траекторий наиболее удобен для исследования нелинейных систем второго порядка.

Пусть нелинейная система описывается системой фазовых уравнений второго порядка:

f₁ и f₂ в общем случае нелинейны.

Поделим второе уравнение на первое:

 аналитическое выражение.

Рассмотрим метод фазовых траекторий для линейных систем второго порядка:

уравнение для фазовой траектории.

С помощью метода пространства состояний:

Линейная система в зависимости от значений параметров может иметь следующие переходные процессы; колебательный (устойчивый и неустойчивый), апериодический ( устойчивый и неустойчивый) и на границе устойчивости. Рассмотрим фазовые траектории, соответствующие каждому из перечисленных движений:

Для линейных систем такая фазовая траектория единственная. Для нелинейных систем их несколько, каждая из которых соответствует различным н.у.

В нелинейной системе предельный цикл соответствует режиму автоколебаний.