- •Классификация функций по свойствам.
- •Основные элементарные функции. Понятия сложной и обратной функций. Элементарные функции и их классификация.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции, свойства. Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции.
- •Основные свойства пределов функции. Замечательные пределы.
- •Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность основных элементарных функций.
- •Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.
- •Определение и свойства функции, непрерывной на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения. Теорема об обратной функции.
- •Понятие производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной.
- •Правила вычисления производной, связанные с арифметическими действиями над функциями. Производные основных элементарных функций.
- •Производная сложной и обратной функций.
- •Производные функций, заданных в параметрическом виде и неявно.
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.
- •Формальное определение
- •Понятия числового ряда, его суммы. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда. Действия с числовыми рядами.
- •Знакопеременные числовые ряды. Понятия абсолютной и условной сходимости, их свойства.
- •Знакочередующиеся числовые ряды. Теорема Лейбница.
- •Числовые ряды с комплексными членами.
- •Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса.
- •Функциональный ряд
- •Сходимость
- •Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда, свойства степенных рядов.
- •Признаки сходимости
- •Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
- •Формула Тейлора
- •Понятие тригонометрического ряда Фурье, условия его сходимости.
- •Основные элементарные функции комплексных переменных.
- •1. Дробно-рациональная функция
- •2. Показательная функция:
- •3. Тригонометрические функции:
- •4. Гиперболические функции:
- •5. Логарифмическая функция.
- •6. Общая степенная функция:
- •Дифференцируемость, условия Коши-Римана дифференцируемости функции комплексной переменной.
- •Определение аналитической функции комплексной переменной, свойства.
- •Интегрирование функций комплексной переменной. Дифференцирование Определение
- •Разложение аналитических функций в степенные ряды. Понятие ряда Лорана.
Производная сложной и обратной функций.
Производная обратной функции.
Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к , а ее производная вычисляется по формуле .
Пример:
Производная сложной функции.
Пусть задана сложная функция , т.е. переменная есть функция переменной , а переменная есть, в свою очередь, функция от независимой переменной .
Если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной:
.
Производные функций, заданных в параметрическом виде и неявно.
Пусть задана зависимость двух переменных и от параметра , изменяющегося в пределах от до :
Пусть функция имеет обратную: . Тогда мы можем, взяв композицию функций и , получить зависимость от : . Зависимость величины от величины , заданная через зависимость каждой из них от параметра в виде , называется функцией , заданной параметрически.
Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функций и : поскольку и, по формуле производной обратной функции, , то
где -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение .
Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между и , снова выраженной в виде параметрической зависимости: , ; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции . Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра . Покажем это на следующем примере.
Неявно заданная функция
Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0).
Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.
Пример : Найти производную функции у, заданную уравнением х3+у3-3ху=0.
Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х3+у3-3ху=0. Из полученного соотношения
3х2+3у2· у'-3(1· у+х· у')=0
следует, что у2у'-ху'=у-х2, т. е. у'=(у-х2)/(у2-х).
Б ИЛЕТ 15. Первый замечательный предел.
Для доказательства возьмем вектор окружности радиуса 1 с центральным углом, равным (радиан), и проведем . Тогда пл. < пл. сект. < пл. или . Разделив все части этого неравенства на > 0, получим
или . Это неравенство, доказанное для любых из интервала (0; ), верно для любого из интервала (- ; ) в силу четности функций, входящих в это неравенство.
Докажем, что
( ) при
А раз и , то .
Кроме того: = 1
БИЛЕТ 16. Второй замечательный предел.
.
На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+ при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+ , а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:
|
1/2 |
1/3 |
1/4 |
0.01 |
0.001 |
|
2.25 |
2.37… |
2.44… |
2.7047… |
2.7169… |
Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.
Доказательство: Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:
По определению Гейне:
=
= Вычислим . Рассмотрим = = .
По определению Гейне рассмотрим .
*
То есть = = = .
Т акже = = = =
1
БИЛЕТ 17. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.
Определение: бесконечно малая функция при , если . Определение: Пусть и - бесконечно малые функции при . Тогда:
1) и эквивалентны при ( ~ , ), если .
2) , - бесконечно малые одного порядка малости при , если . 3) - бесконечно малая более высокого порядка малость, чем .
( = ( ), ), если .
4). имеет -й порядок малости относительно при , если .
5). называется ограниченной относительно бесконечно малой функции при , если .
Примеры:
1). при .
2). ( , -бесконечные малости одного порядка).
3 ). ( )
1 0
4). …
( )- 2-й порядок малости относительно при .
5).
- произвольная.
БИЛЕТ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. Теорема о замене на эквивалентные.
Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.
Теорема (критерий эквивалентности):
Пусть , -бесконечно малые функции при .
- . Тогда ~ при .
Доказательства:
( ). Пусть ~ , , то есть .
=0,
то есть .
( ). ., .
=1.
Теорема (о замене на эквивалентные):
Пусть функция ~ , ~ при и существует , тогда существует и = . То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.
= * * = .
1 1
БИЛЕТ 19. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций.
Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .
Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .
Определение 3: Функция непрерывна в точке , если
.
Свойства непрерывных функций:
Теорема 1 (локальная огр.): Пусть функция непрерывна в точке , тогда .
Теорема 2 (отделимость от 0): Пусть функция непрерывна в точке и , тогда
. .
Теорема 3 (арифметика непрерывных функций): Пусть , непрерывны в точке , тогда:
1). непрерывна в точке .
2). непрерывно в точке .
3). Если , то непрерывно в точке .
БИЛЕТ 20. Непрерывность сложной функции.
Теорема: если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .
Доказательство:
Возьмем число >0. Так как функция непрерывна в точке то можно подобрать такое число , что
для любого , такого, что . (1)
А так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа можно подобрать такое число , что
для любого , такого, что . (2)
Возьмем любое число такое, что . Тогда в силу (2) число удовлетворяет неравенству , и поэтому в силу (1) . Так как все эти вычисления проведены для любого >0, то непрерывность функции в точке доказана.
БИЛЕТ 21. Классификация разрывов. Примеры.
Определение: -точка разрыва функции , если в точке функция не является непрерывной.
Определение: точка -точка устранимого разрыва функции , если существует , но не определена в точке , либо .
Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию:
- непрерывна в точке .
Пример: .
, - точка устранимого разрыва .
Если не существует, то -точка неустранимого
разрыва .
Определение: Пусть точка -точка неустранимого разрыва функции , тогда:
если существует , то .
если , то -точка разрыва функции 1-го рода.
если , то -точка разрыва функции 2-го рода.
П римеры:
1). .
,
- точка разрыва 1-го рода.
2 ). .
,
- точка разрыва 2-го рода.
3 ).
,
- точка разрыва 2-го рода.
4 ).
не существует точка - точка разрыва 2-го рода.
, . Точка - точка разрыва 2-го рода.
БИЛЕТ 22. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема Коши о промежуточном значении.
Определение: непрерывна на , если непрерывна в точке ,
непрерывна на , если непрерывна в точке , и
Существует , .
Теорема: Пусть определена на и , причем . Тогда
.
Пусть , . Используем метод деления отрезка пополам.
Обозначим: , .
Определим
1) =0 .
2) < 0 , .
3) > 0 , и так далее.
.
.
По лемме о вложенных отрезках: , то есть .
непрерывна в точке
.
.
0 ( )
.
.
0 ( )
Следствие (т. о промежуточном значении непрерывной функции):
Пусть определена на и , , ,
Тогда : .
Пусть для ограничения .
Рассмотрим произвольн. :
непрерывна на .
Из этих двух утверждений следует:
, то есть .
БИЛЕТ 23. Первая теорема Вейерштрасса.
Пусть . Тогда ограничена на .
Доказательство:
Докажем, что .
Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…
Получим :
1)
2)
Из этих определений получаем .
=> -подпоследовательность последовательности :
.
-непрерывна в точке => .
-подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.
Замечание: Замкнутость по существу. , , но
Не является ограниченной на .
БИЛЕТ 24. Вторая теорема Вейерштрасса.
Пусть . Тогда
Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу.
Доказательство:
По условию теоремы => ограничена на => Докажем, что . Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на . По 1 теореме Вейерштрасса ограничена на , то есть .
(< )- верхняя граница. , то есть .
Противоречие.
Следствие: если , то .
БИЛЕТ 25. Равномерная непрерывность и непрерывность в точке. Теорема Кантора (без доказательства).
Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .
Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .
Определение 3: Функция непрерывна в точке , если
.
Функция, непрерывная на отрезке.
Определение: Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка, непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .
Теорема Кантора: Если функция непрерывна на отрезке , то для любого можно указать такое , что для любых и из таких, что .
+ БОНУС
Доказательство:
Возьмем число . Построим на отрезке точки следующим образом: если точка уже построена, то рассмотрим множество , состоящее из всех точек , удовлетворяющих неравенствам: , .
Положим (см. рисунок), что:
если пусто (и на этом построение заканчивается).
если не пусто.
Заметим, что в силу непрерывности и для любого из отрезка . Последовательность может быть конечной или бесконечной. Предположим, что она бесконечна, тогда для всех . Пусть . Так как
, то функция непрерывна в точке слева, и потому можно указать такое число
, что и для любого из интервала . По определению числа можно найти в интервале . Тогда любое число из интервала принадлежит интервалу , и потому
, что противоречит тому, что . Таким образом, последовательность не может быть бесконечной, и потому существует такой номер , что . Положим: . Возьмем два любых числа
и из отрезка таких, что . Тогда возможны два случая: или обе эти точки попали на некоторый отрезок и тогда , или этого не случилось, и тогда найдется точка между и . Но в этом случае , так как и (доказывается аналогично) , а потому . Так как все приведенные рассуждения справедливы для любого , то теорема доказана.
Смысл этой теоремы состоит в том, что для всех точек отрезка можно по заданному числу подобрать общее для всех точек число (фигурирующее в определении). Для функций, непрерывных на интервале это можно сделать уже не всегда.
БИЛЕТ 26. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Понятие производной функции.
Определение: Пусть функция f(x) определена в окрестности точки .Если ее приращение можно представить в виде ,то говорят ,что f(x) дифференцируема в точке (иногда пишут -величина более высокого порядка, чем а это означает, что )
-линейная функция от .Она называется дифференциалом функции f(x) и обозначается
Пример:
Критерий дифференцируемости:
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы существовала производная в этой точке.
Доказательство:
1.Необходимость. f(x) дифференцируема в точке это означает . Разделим это равенство на и перейдем к пределу ,т.е. существует , т.е. производная существует.
2.Достаточность. Пусть существует или
, т.е. f(x) дифференцируема в точке .
Итак, , т.е. .Отсюда следует новое обозначение производной и эту величину можно рассматривать как один символ, так и как частное дифференциалов.
Понятие производной функции.
Определение: Производной функции в точке называется предел Очень удобна более короткая запись для этого предела и более короткое обозначение для производной .
БИЛЕТ 27. Алгебраические свойства дифференцируемых функций.
Теорема: Если функции и имеют производные, то
1) .
2) .
3) ( постоянная).
4) .
Доказательство: По теореме об арифметике пределов функций, по определению производной и формулам: , и имеем:
1).
.
2).
= = = + +
+ = = , так как множители и не зависят от и при являются постоянными, а , поскольку имеет производную и потому непрерывна.
3). (так как ).
4). = .
БИЛЕТ 28. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
Производная сложной функции.
Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке ,а функция z=F(y) имеет производную в точке , тогда сложная функция Ф(x)=F(f(x)) имеет производную в точке .
Доказательство: Функция f(x) непрерывна в окрестности точки , функция F(y) непрерывна в окрестности точки , поэтому в окрестности точки существует сложная функция Ф(x).Функция F(y) имеет производную в точке , поэтому она дифференцируема в этой точке.
(\/)
-бесконечно малая более высокого порядка, чем , но может быть неопределенна в точке =0, поэтому мы доопределяем ее по непрерывности в точке 0 : .Разделим равенство (\/) на :
F(y)=F(y(x))=Ф(x) и тогда равенство запишем в виде . Перейдем к пределу
. окажем, что , то y=f(x) непрерывна в окрестности точки , т.е. ( и стремятся к 0 одновременно), т.е. (т.к. бесконечно малая более высокого порядка, чем ), а , т.о. получим формулу .
Инвариантность формы первого дифференциала.
Дифференциал первого порядка имеет тот же самый вид: произведение производной функции на дифференциал аргумента , независимо от того, является аргумент независимой переменной или зависимой.
z-независимая переменная , y-зависит от x
Если y=f(x), то
БИЛЕТ 29. Теорема Ферма.
Теорема Ферма (необходимое условие extr):
Пусть определена на интервале (a,b) и точка если в точке функция f(x) достигает max или min значения и в точке существует производная, то f’( )=0.
Доказательство.
Пусть для определенности в точке принимает max значение, т.е . В точке существует производная , тогда (правая и левая производная).Распишем отношение
переходя в этих интервалах к пределу, получим
Замечание.
Теорема носит локальный характер, т.е. точка является локальным экстремумом.
Геометрический смысл теоремы.
В предположение теоремы всегда существует точка, в которой касательная к графику функции параллельная OX.
БИЛЕТ 30. Теорема Ролля.
Теорема Ролля:
Пусть функция y= :
1) непрерывна на отрезке [a,b];
2) дифференцируема (a,b);
3) f(a)=f(b), тогда
Доказательство.
Функция f(x), непрерывна на [a,b] достигает на нем max M и min m значения, т.е . Возможны два случая.
1) и
2) ,тогда либо максимальное значение f(x) либо минимальное значения f(x) достигается внутри интервала (a,b) (не на конце отрезка [a,b]).(f(a)=f(b)). , тогда достигает максимального или минимального значения во внутренней точке интервала (a,b) и по теореме Ферма
|
|
|
|
|
|
Все условия теоремы Ролля существенные. Если выполняется, только 2 из 3(см. картинку), то не существует точка причем (касательная параллельная оси ОХ).
БИЛЕТ 31. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).
Теорема Лагранжа.
Пусть функция f(x)
-непрерывна на отрезке [a,b];
-дифференцируема на интервале (a,b);
Тогда (формула конечных приращений)
Доказательство.
Рассмотрим функцию .Параметр выберем из условия F(a)=F(b)
Функция F(x) удовлетворяет всем условием т.Ролля (она непрерывна и дифференцируема, как сумма непрерывных и дифференцируемых функций )
Геометрический смысл.
В предположение теоремы существует точка :касательная к графику функции параллельна секущей(хорде).
Следствие.
Пусть f(x) определена, непрерывна и дифференцируема на (a,b). И в каждой точке интервала (a,b) , тогда f(x)=const.
Доказательство.
Пусть x1 и x2 две произвольные точки интервала(a,b),тогда , точка лежит между этими точками x1 и x2, по условию , т.е f(x)=const(в силу произвольности выбора x1 и x2).
БИЛЕТ 32. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений).
Теорема Коши.
Пусть функции и g(x) определены на интервале (a,b)
1) и g(x) непрерывны на [a,b];
2) и g(x) дифференцируемы на (a,b) причем , тогда
Доказательство.
Рассмотрим функцию параметр выбрали из условия
.
Для функции F(x) выполнены условия теоремы Ролля. Формулировка теоремы Ролля Сравнивания формулы для , получим утверждение теоремы.
Следствие.
Теорема Лагранжа. Если ,то .
БИЛЕТ 33. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Правило Лопиталя.
Для раскрытия неопределенности вида .Пусть и g(x) определены в окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а и . И пусть в окрестности точки а существуют . Если существует , то и эти пределы равны.
Доказательство.
а - конечное число. Доопределим функции и g(x) в точке х=а, по непрерывности: f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отношение . Здесь (использовали теорему Коши). Перейдем к пределу при (т.к и если , то ).
надо сделать замену, x=1/t, тогда , и правило применяется к новой функции .
Теорема 2.
Пусть и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки а и .Если , то и они равны.
Замечание.
В формулировке теорем необходимо потребовать, чтобы .
-теорема 1 доказана. -теорема 2 формулировка.
.
Пример, когда нельзя применять правило Лопиталя .
Вычислим предел отношения производных он не существует, т.к. не существует предел числителя и знаменателя. Правило Лопиталя применять нельзя.
Вычислить.
БИЛЕТ 34. Формула Тейлора.
Формула Тейлора.
Пусть функция дифференцируема в точке , тогда , где -бесконечно малая более высокого порядка чем . , где линейная функция, причем .
Можно расписать, что , т.е в окрестности точки функция f(x) ведет себя как линейная. Поставим более общую задачу: для функции y=f(x) найти многочлен порядка n, который обладает следующими свойствами:
Многочлен будем писать в виде
первые равенства получаются путем дифференцирования формулы для и подстановки . Вторые равенства - это требуемые свойства .f(x) у которого существует производная до n порядка включительно можно найти коэффициенты
Многочлен , , многочлен Тейлора для функции f(x).
Обозначим
Рассмотрим функцию и вычислим
Т.о получим , остаточный член формулы Тейлора.
Пусть функцияf(x) определена на интервале (a,b) и в каждой точке x0 принадлежащей интервалу (a,b) имеем производную до n порядка включительно, тогда , где
Единственность многочлена Тейлора.
Пусть функция представлена в окрестности точки многочлена вида
Доказательство.
Если где её многочлен Тейлора и есть у нас другой многочлен надо показать, что коэффициенты одинаковы
Пусть сократим на
. пусть сократим на и т.д. многочлен Тейлора единственен.
БИЛЕТ 35. Условие постоянства функции. Условие монотонности функции.
На рисунке нарисован график функции , всюду имеющей производную. В точке касательная к и ось образуют острый угол , поэтому ее угловой коэффициент, равный , положителен. Но . Следовательно, . И так будет в любой точке интервала , где функция монотонно возрастает. Напрашивается вывод: если на интервале , то на этом интервале функция монотонно возрастает. Далее, в точке касательная к образует с осью тупой угол , поэтому ее угловой коэффициент, равный отрицателен. А так как , то . Вывод: если на интервале , то на этом интервале функция монотонно убывает. В точке функция имеет максимум. На чертеже ясно, что в этой точке касательная к параллельна оси , и поэтому ее угловой коэффициент равен нулю, так что . При этом слева от этой точки , а справа .
Теорема (достаточный признак монотонности).
1). Если на отрезке , то монотонно возрастает на .
2). Если на отрезке , то монотонно убывает на .
Доказательство:
Возьмем любые числа и , причем < , из интервала . По формуле Лагранжа получаем: , , и поэтому принадлежит интервалу . Так как , то в первом случае , то есть , а во втором , то есть , что и требовалось доказать.
БИЛЕТ 36. Экстремумы функции. Достаточные условия экстремума.
Теорема 1. Необходимое условие экстремума.
Пусть точка х0 является точка экстремума для функции f(x). Тогда, если существует f’(x0), то f’(x0)=0, либо f’(x0) не существует.
В точке х1 – min; в точке х2 – max.
Теорема 2. Достаточное условие строгого extr в терминах первой производной.
Пусть f(x) дифференцируема в некой окрестности точки х0, и в точке х0 f(x) непрерывна. Если f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 является точкой строгого экстремума, при этом 1)если при , а при
то в точке х0 – минимум. 2)если при , а при то в точке х0 максимум.
Доказательство.
Докажем 1) .Теорема Лагранжа . а) Если х-х0>0 и . б) если х-х0<0 и , т.е при переходе через точку х0 не меняет свой знак: >0, т.е точка х0-точка минимума.
2)Доказательство аналогично.
Достаточное условие строгого экстремума в терминах старшей производной.
Пусть в точке х0 у функции f(x) существует n производных, причём Тогда, если n=2k, то в точке х0 экстремум, и если Если n=2k+1 в точке х0 нет экстремума и точка х0 точка возрастания. Если и точка убывания, если .
Следствие. Если в точке х0 у функции f(x) существует , то, если >0, то в точке х0 минимум, <0,то в точке х0 максимум (k=1).
Доказательство.
Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора.
или знак определяется первым слагаемым, если n – четное, то знак зависит от знака . По этому, если то >0 – минимум. то <0 – максимум. Если n – нечетное, то знак зависит от и , т.е. при переходе через точку х0 знак меняется, следовательно в точке х0 экстремума нет.
Следствие.
. f’’(x0)>0, >0 – минимум; f’’(x0)<0, <0 – максимум.
БИЛЕТ 37. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба.
Выпуклости функции. Точка перегиба.
Опр. Функция f(x) на интервале (a,b) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз), если
( )
Геометрически это означает что кривая y=f(x) лежит выше(ниже) прямой.
Достаточное условие строго выпуклости.
Теорема. Если на интервале (a,b) f’’(x)>0, то f(x) выпукло вниз, если f’’(x)<0, то f(x) выпукло вверх.
Доказательство
Рассмотрим разность х2-х1>0
а)Если выпукла вниз.
б) Если выпукла вверх.
Опр. Точка х0 для функции f(x) называется точкой перегиба, если она является концом интервала выпуклота вверх(вниз) и началом интервала выпуклота вниз(вверх)
Необходимое условие точек перегиба.
Если функция дважды непрерывна, дифференцируема в точке х0 и если точка х0 является точкой перегиба, то f’’(x0) = 0
Доказательство. Если бы f’’(x0)>0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вниз. Если бы f’’(x0)<0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вверх. Но это противоречит определению точке перегиба: точка перегиба не принадлежит ни какому интервалу выпуклости.
БИЛЕТ 38. Достаточные условия перегиба графика функции.
Достаточное условие точки перегиба.
Если функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точке х0 кроме, быть может, самой точки х0, но f(x) непрерывна в точке х0 и ее производная меняет знак при переходе через точку х0, то в точке х0 – точка перегиба.
Доказательство.
Т.е. в случае (1) точка х0 является концом интервала выпуклости вверх и началом интервала выпуклости вниз, следовательно точка х0 точка перегиба. В случае (2) точка х0 является концом интервала выпуклости вниз и началом интервала выпуклости вверх, следовательно х0 точка перегиба.
Замечание. Заметим, что если функция y=f(x) выпукла вниз, то ее график лежит выше касательной, если функция y=f(x) выпукла вверх, то ее график лежит ниже касательной.
Теорема. Пусть функция f(x) обладает следующим условием непрерывна в точке x0 и .n-четное y= f(x) выпукла вверх, если и выпукла вниз, если , n+1-нечетное- точка x0-точка перегиба.
Доказательство.
n+1- четное следовательно положение функции у нас зависит только от производной . N-нечетное y(x)>y(кас), если . y(x)<y(кас), если , точка X0-точка перегиба.
БИЛЕТ № 39. дифференциальное уравнение первого порядка, их общее частное особое решение
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков искомой функции.
Определение. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких переменных – то уравнением в частных производных.
Рассмотрим пример. Найти первообразную , если .
Решение. Раньше мы эту задачу решали с помощью неопределенного интеграла. Однако, ее можно рассматривать как задачу о нахождении функции , удовлетворяющей уравнению . .
В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде:
. (12.1)
Например: .
Определение. Дифференциальное уравнение -го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:
, (12.2)
где - некоторая функция от переменной.
Определение. Решением дифференциального уравнения (12.1) называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.
Например, есть решение уравнения , т.к. .
Определение. Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования этого дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Пример. Решить уравнение: .
Решение. Поскольку , то . Интегрируя левую и правую часть равенства, получим . Т.к. , то разделив переменные имеем . Интегрируя вторично, получим решение: , .
Проверка: .
Определение. Общим решением дифференциального уравнения (12.1) –го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменных и произвольных постоянных .
Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .
Например, для уравнения , где .