- •Классификация функций по свойствам.
- •Основные элементарные функции. Понятия сложной и обратной функций. Элементарные функции и их классификация.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции, свойства. Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции.
- •Основные свойства пределов функции. Замечательные пределы.
- •Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность основных элементарных функций.
- •Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.
- •Определение и свойства функции, непрерывной на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения. Теорема об обратной функции.
- •Понятие производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной.
- •Правила вычисления производной, связанные с арифметическими действиями над функциями. Производные основных элементарных функций.
- •Производная сложной и обратной функций.
- •Производные функций, заданных в параметрическом виде и неявно.
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.
- •Формальное определение
- •Понятия числового ряда, его суммы. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда. Действия с числовыми рядами.
- •Знакопеременные числовые ряды. Понятия абсолютной и условной сходимости, их свойства.
- •Знакочередующиеся числовые ряды. Теорема Лейбница.
- •Числовые ряды с комплексными членами.
- •Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса.
- •Функциональный ряд
- •Сходимость
- •Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда, свойства степенных рядов.
- •Признаки сходимости
- •Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
- •Формула Тейлора
- •Понятие тригонометрического ряда Фурье, условия его сходимости.
- •Основные элементарные функции комплексных переменных.
- •1. Дробно-рациональная функция
- •2. Показательная функция:
- •3. Тригонометрические функции:
- •4. Гиперболические функции:
- •5. Логарифмическая функция.
- •6. Общая степенная функция:
- •Дифференцируемость, условия Коши-Римана дифференцируемости функции комплексной переменной.
- •Определение аналитической функции комплексной переменной, свойства.
- •Интегрирование функций комплексной переменной. Дифференцирование Определение
- •Разложение аналитических функций в степенные ряды. Понятие ряда Лорана.
Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Определение
Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции в точке .
Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0.
Ряды Маклорена некоторых функций
Экспонента:
Натуральный логарифм:
для всех
Квадратный корень:
для всех
для всех
Конечный геометрический ряд:
для всех
Тригонометрические функции:
для всех где — Числа Бернулли
для всех где — Числа Бернулли
для всех
для всех
Формула Тейлора
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
-
Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки ,
Пусть
Пусть — произвольное положительное число,
тогда: точка при или при :
При использовании рядов, называемых рядами Маклорена (=Макларена), смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.
Теорема Маклорена (ряд Маклорена (=Макларена)) имеет вид:
1) , где f(x) - функция, имеющая при а=0 производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Маклорена (=Макларена) (Тейлора при а=0)определяется выражением
2)
k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой
Разложение в ряд Маклорена
1) Определяем производные иначе выражаясь, , записываем ряд Маклорена для ,
2) Находим интервал сходимости:
для ряда характерна абсолютная сходимость на промежутке .
3) Представим в форме Лагранжа (30.9):
(30.11)
Функция монотонно возрастает, следовательно Учитывая то, что (30.10), в соответствии с признаком необходимости имеем
получается, что формула (30.11) является прооизведением ограниченной функции на б.м., следовательно .
Понятие тригонометрического ряда Фурье, условия его сходимости.
Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом в виде ряда
|
(1) |
или используя комплексную запись, в виде ряда:
.
Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида:
|
(1) |
где
Числа , и ( ) называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты , и . Если умножить правую часть (1) на и проинтегрировать по промежутку , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент . Аналогично для
Ряд (1) сходится к функции в пространстве . Иными словами, если обозначить через частичные суммы ряда (1):
,
то их среднеквадратичное отклонение от функции будет стремиться к нулю:
.