4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, свойства. Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

Свойства бесконечно малых

• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

• Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

Свойства бесконечно больших

• Сумма бесконечно больших функций одного знака при x → x_{0 есть бесконечно большая того же знака при} x → x_0.

• Произведение бесконечно больших — бесконечно большая.

• Произведение бесконечно большой функции на функцию, имеющую предел – бесконечно большая.

• Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

1. Если f(x) — бесконечно большая функция при x → x₀, то 1/f(x)    — бесконечно малая функция при x → x₀.

2. Если α(x) — бесконечно малая функция при x → x₀   и  ∀x ∈O(x₀₎ α(x) ≠ 0   — бесконечно большая функция при x → x₀.

4. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции.

Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при  .

• Если  , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией β (x);

• Если  , то говорят, что функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми одинакового порядка малости;

• Если  , то говорят, что бесконечно малые функции α (x) и β (x) эквивалентны при  .

В частности, следующие функции являются эквивалентными:

При вычислении предела отношения двух бесконечно малых функций мы можем заменить эти функции их эквивалентными выражениями. 

4. Основные свойства пределов функции. Замечательные пределы.

Свойства пределов. 

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Предел степенной функции

где степень p – действительное число. В частности,

Если f ( x ) = x, то

Предел показательной функции

где основание a > 0.

Предел логарифмической функции

где основание a > 0.

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел: