- •1 Переход от одной декартовой системы координат к другой в пространстве.
- •2 Необходимые сведения из теории квадратичных форм.
- •3 Понятие общего уравнения поверхности второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка.
- •4 Теория инвариантов.
- •5 Определение канонического уравнения поверхности второго порядка при помощи инвариантов.
- •6 Центр поверхности второго порядка.
- •7 Конические поверхности.
- •8 Цилиндрические поверхности.
- •9 Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления.
- •Конусы асимптотических направлений.
- •10 Диаметральная плоскость, сопряженная данному неасимптотическому направлению.
- •11 Касательная плоскость.
- •12 Главные направления поверхности второго порядка.
- •13 Число главных направлений поверхностей второго порядка.
- •14 Определение расположения поверхности второго порядка по отношению к декартовой системе координат.
8 Цилиндрические поверхности.
Определение 8.1. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная параллельными между собой прямыми, называемыми ее образующими.
Если какая-нибудь плоскость, пересекающая все образующие цилиндрической поверхности, пересекает ее по линии , то эта линия называется направляющей этой цилиндрической поверхности.
ТЕОРЕМА 8.1. Если в пространстве введена аффинная система координат, и уравнение в плоскости является уравнением некоторой линии , то это уравнение в пространстве есть уравнение цилиндрической поверхности с направляющей линией , а образующие параллельны оси . Доказательство. Пусть точка лежит на цилиндрической поверхности . Проведем через точку прямую параллельную оси . Пусть точка пересечения этой прямой с плоскостью . Тогда по определению цилиндрической поверхности получаем, что . Но уравнение не зависит от , а тогда и координаты точки удовлетворяют этому уравнению. Обратно, если не лежит на , то ее координаты не удовлетворяют уравнению , а следовательно, и координаты точки не удовлетворяют ему. Что и требовалось. ТЕОРЕМА 8.2. (обратная) Если --- цилиндрическая поверхность, направляющей которой является плоская линия , а образующие поверхности параллельны некоторой прямой , не лежащей в плоскости линии , то существует система координат, в которой уравнение поверхности имеет вид . Доказательство. Введем аффинную систему координат , совмещая плоскость с плоскостью, в которой расположена линия , и принимая за ось --- ось, параллельную прямой . Пусть --- уравнение линии в плоскости . На основании предыдущей теоремы это уравнение в пространстве во введенной системе координат является уравнением цилиндрической поверхности . ТЕОРЕМА 8.3. Для того чтобы поверхность второго порядка, заданная общим уравнением являлась уравнением цилиндрической поверхности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства . Доказательство необходимости. Если имеем цилиндрическую поверхность, то преобразованием системы координат ее уравнение может быть приведено к виду (согласно теореме 8.1):
Отсюда, вычисляя по значения и учитывая соотношения и , получаем требуемое.
Доказательство достаточности. Пусть . Преобразуя данное уравнение к каноническому виду получим, что данная поверхность принадлежит к или группе, а все эти поверхности цилиндрические.
Таким образом цилиндрическими поверхностями второго порядка являются следующие поверхности 1. эллиптический цилиндр ;
2. мнимый эллиптический цилиндр ;
3. две мнимые пересекающиеся плоскости ;
4. гиперболический цилиндр ;
5. две пересекающиеся плоскости ;
6. параболический цилиндр ;
7. две параллельные плоскости ;
8. две мнимые параллельные плоскости ;
9. две совпавшие параллельные плоскости .