- •1 Переход от одной декартовой системы координат к другой в пространстве.
- •2 Необходимые сведения из теории квадратичных форм.
- •3 Понятие общего уравнения поверхности второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка.
- •4 Теория инвариантов.
- •5 Определение канонического уравнения поверхности второго порядка при помощи инвариантов.
- •6 Центр поверхности второго порядка.
- •7 Конические поверхности.
- •8 Цилиндрические поверхности.
- •9 Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления.
- •Конусы асимптотических направлений.
- •10 Диаметральная плоскость, сопряженная данному неасимптотическому направлению.
- •11 Касательная плоскость.
- •12 Главные направления поверхности второго порядка.
- •13 Число главных направлений поверхностей второго порядка.
- •14 Определение расположения поверхности второго порядка по отношению к декартовой системе координат.
13 Число главных направлений поверхностей второго порядка.
Докажем следующие положения.
1. Если --- простой корень характеристического уравнения , то система имеет ненулевое решение, но не может иметь два линейно независимых решения.
В самом деле, если бы система имела два линейно независимых решения, то ранг определителя этой системы был бы ниже и потому его производная
обращалась бы в нуль при , т.е. кратность корня была бы больше .
2. Если , то ненулевые векторы и , которые мы получим из системы при и , ортогональны друг другу.
В самом деле, из соотношений
и находим + + Левые части этих равенств тождественны, значит, или и так как , то , а значит .
Из доказанного, а так же из предыдущего параграфа приходим к следующим выводам.
Если все корни характеристического уравнения простые и ненулевые, то поверхность имеет только три попарно перпендикулярных главных направления.
Если , то поверхность имеет одно главное направление, соответствующее корню , и всякое направление, к нему перпендикулярное, также будет главным. В этом случае поверхность второго порядка является поверхностью вращения.
Если , то любое направление является главным (сфера).
Если , то поверхность имеет два главных взаимно перпендикулярных направления.
Если , то любое направление перпендикулярное вектору, соответствующему корню , будет главным (поверхность вращения).
Если , то имеется одно главное направление, соответствующее корню .
Определение 13.1. Диаметральная плоскость, соответствующая главному направлению называется главной диаметральной плоскостью.
Главные диаметральные плоскости --- это плоскости симметрии поверхности, а главные направления --- это направления прямых, не имеющих асимптотического направления, перпендикулярных к этим плоскостям симметрии.
Замечание 13.1. Все центральные поверхности, не являющиеся поверхностями вращения, имеют по три плоскости симметрии, попарно перпендикулярные друг другу, и по три оси симметрии, имеющие главные направления, перпендикулярные к плоскостям симметрии и проходящие через центр поверхности.
Каждая из центральных поверхностей вращения обладает плоскостью симметрии проходящей через ее центр и перпендикулярной к оси вращения. Кроме того, плоскостями симметрии будут все плоскости, проходящие через ось вращения. Осью симметрии в этом случае будет ось вращения, а также всякая прямая, проходящая через центр поверхности и перпендикулярная к оси вращения. Все оси симметрии идут по главным направлениям.
Эллиптический параболоид, не являющийся параболоидом вращения, и каждый гиперболический параболоид имеют по две перпендикулярные друг другу плоскости симметрии, являющиеся диаметральными плоскостями. Линия их пересечения является осью симметрии поверхности. В отличие от осей симметрии центральных поверхностей ось симметрии параболоида имеет не главное, а особое направление, причем ось симметрии, являющаяся линией пересечения плоскостей симметрии, пересекает параболоид в одной точке --- в его вершине.
Параболоид вращения имеет одну ось симметрии --- ось вращения. Всякая плоскость, проходящая через нее, является главной диаметральной плоскостью.