6 Центр поверхности второго порядка.

Определение 6.1. Центром поверхности второго порядка называется любой центр симметрии этой поверхности. ТЕОРЕМА 6.1. Пусть относительно аффинной системы координат задана поверхность второго порядка общим уравнением Для того чтобы начало координат являлось ее центром, необходимо и достаточно, чтобы в уравнении   отсутствовали члены с   и   в первой степени, т.е. чтобы  , иначе, чтобы уравнение поверхности имело вид Доказательство достаточности. Если  , то уравнение поверхности имеет вид  , и если ему удовлетворяют координаты   и   точки  , то ему удовлетворяют и координаты   и   точки  , симметричной точке   относительно начала координат. Доказательство необходимости. Пусть начало координат является центром поверхности  . Возьмем на поверхности произвольную точку  . Ее координаты удовлетворяют уравнению  , а так как начало координат является центром симметрии поверхности, то этому уравнению удовлетворят и координаты точки  , симметричной точке  относительно начала координат, т.е.

Вычитая из   соотношение  , находим, что координаты всех точек поверхности удовлетворяют уравнению  . Следовательно, уравнение поверхности приводится к виду  , то есть не содержит членов с   и   в первой степени. По аналогии с кривыми второго порядка введем следующие обозначения: Тогда нетрудно проверить, что  . ТЕОРЕМА 6.2. Если относительно аффинной системы координат задана поверхность второго порядка общим уравнением то координаты   ее центра определяются из системы уравнений

причем в случае несовместности этой системы поверхность не имеет центра. Доказательство. Произведем перенос данной системы координат так, чтобы новым началом стала точка  . Формулы такого преобразования имеют вид  . В новой системе координат уравнение поверхности   будет иметь вид (убедится самостоятельно). По предыдущей теореме точка   является центром данной поверхности тогда и только тогда, когда  Определение 6.2. Любая поверхность второго порядка, имеющая единственный центр называется центральной. Следовательно, поверхность является центральной, если  Классификация поверхностей второго порядка по характеру места центров. Пусть поверхность второго порядка задана общим уравнением Рассмотрим матрицы В таблице даны необходимые и достаточные признаки характера места центров поверхности, заданной уравнением  .

ранг	ранг	характер места центров
3	3	точка
2	3	нет центров
2	2	прямая
1	2	нет центров
1	1	плоскость

В самом деле, эта таблица следует из взаимного расположения трех плоскостей. Нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы. ТЕОРЕМА 6.3. Классификация поверхностей второго порядка по группам   совпадает с классификацией поверхностей второго порядка по характеру их места центров (по рангам матриц   и  ).