Обозначения

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:

или

— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости).

или

— трехмерного пространства. Для трехмерного пространства часто по традиции используется и обозначение

Представление какого-то конкретного (любого) вектора пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

или

или, употребляя знак суммы :

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора в базисе (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).

Угол между векторами. Угол между вектором и осью.

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

                   

                                            рис.1.

Обозначение. . Из определения следует, что .

   Мы полагаем очевидным, что при параллельном переносе любого из двух векторов угол между ними остается неизменным, только в этом случае поворот одного из векторов осуществляется либо в общей для обоих векторов плоскости, либо в плоскости параллельной другому вектору.

Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:

,

где и .

18.Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.

Условие коллинеарности (параллельности или совпадения) векторов

Условие ортогональности (взаимной перпендикулярности) векторов:

Условия ортогональности векторов. Два вектора A и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю

a· b= 0

19.Разложение вектора по базису

        Определение 10.10   Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости -- двумерным векторным пространством, в пространстве -- трехмерным векторным пространством.         

Легко проверить, что если  -- какое-то векторное пространство, ,  -- число, то и .

        Определение 10.11   Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется вектор .         

Рис.10.10.Примеры линейных комбинаций

Векторы d,f,g на рисунке 10.10 и являются линейными комбинациями векторов a,b,c: , , , .

Будем говорить, что вектор b раскладывается по векторам , если b является линейной комбинацией этих векторов.

        Предложение 10.1   Если , то любой вектор b, коллинеарный a, представим и причем единственным образом в виде , где  -- число.

        Доказательство.     В соответствии с  определением 10.9 умножения вектора на число , если b имеет направление, противоположное a, и в противном случае. Таким образом, или .