Свойства

• Парабола — кривая второго порядка.

• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.

• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.

• Для параболы фокус находится в точке (0; 0.25).

Для параболы фокус находится в точке (0; f).

• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.

• Парабола является антиподерой прямой.

• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

• При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

13.«Недекартовые» системы координат в пространстве

 Для задания положения точки в пространстве необходимо задать три числа-координаты, причем далеко не всегда декартовая система координат является наиболее удобной. Поэтому в геометрии трех измерений используются и другие системы координат. Познакомимся со своеобразным «гибридом»: полярную систему координат на плоскости дополним третьей координатой − расстоянием до плоскости. Такая система координат называется цилиндрической.  В этой системе координатами произвольной точки А являются (рис. 11):

рис. 11

 а) ρ − полярное расстояние, расстояние от точки до полярной оси (в качестве которой в данном случае выступает ось Z декартовой системы координат) либо, что равносильно, расстояние от проекции точки А на плоскость XOY (точка А^/) до начала координат О;  б) φ − полярный угол, угол между направлением на точку А^/ и осью X;  в) z − расстояние от точки до плоскости XOY.  Для наглядного представления системы координат часто изображают координатные поверхности, то есть множества точек, для которых одна из координат постоянна. Для декартовой системы координат такими поверхностями являются плоскости. Так, например, условию z = const удовлетворяют точки плоскости, параллельной XOY.  В отличие от декартовых, цилиндрические координаты являются криволинейными − их координатные поверхности не являются плоскостями. На рис. 12

рис. 12

изображены семейства координатных плоскостей для цилиндрической системы: − условию ρ = const удовлетворяют точки, лежащие на поверхности цилиндра радиуса ρ, коаксиального (соосного) с осью Z, − поверхности постоянного полярного угла φ = const представляют собой полуплоскости, проходящие через ось Z; − поверхности z = const по-прежнему плоскости перпендикулярные оси Z.  В заключение данного раздела заметим, что число различных криволинейных систем координат в пространстве трех измерений достаточно велико.

Полярные координаты

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа и (см. рис.). Угол при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).

Символ М( ; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .

Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

, .

В этом же случае формулы

,

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.