- •1.Система координат
- •4.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •5. Нормальное уравнение прямой
- •6.Расстояние от точки до прямой
- •7.Векторы
- •8.Общее уравнение плоскости в r3
- •10.Эллипс
- •11. Гипербола
- •Уравнения
- •Свойства
- •13.«Недекартовые» системы координат в пространстве
- •Полярные координаты
- •14.Сферическая система координат
- •15.Линейное пространство
- •Линейное векторное пространство. Линейное пространство векторов.
- •16.Линейная независимость
- •Определение
- •Свойства
- •Значение
- •17.Базис
- •Происхождение термина
- •Элементарное введение: базис в евклидовой плоскости и пространстве
- •Обозначения
- •Евклидово пространство
- •18.Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.
- •19.Разложение вектора по базису
10.Эллипс
Эллипс, его фокусы и главные оси
Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть
причем
Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.
Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.
11. Гипербола
Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от др.-греч. βαλειν — «бросать», ὑπερ — «сверх») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек и (называемых фокусами) постоянно. Точнее,
причем
Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.
Кривая постоянной суммы расстояний между двумя точками — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянного произведения — овал Кассини.
У этого термина существуют и другие значения, см. Парабола (значения).
Парабола, её фокус и директриса |
|
|
|
Коническое сечение: |
|
Эксцентриситет: |
|
Уравнение: |
|
гипербола · парабола · эллипс · окружность |
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Уравнения
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:
(или , если поменять местами оси).
Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих.
Квадратное уравнение при также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и , но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке , координаты которой вычисляются по формулам:
где — дискриминант
Ось её симметрии проходит через вершину параллельно оси ординат, при a>0 (a<0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии a/4, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение может быть представлено в виде , а в случае переноса начала координат в точку каноническим уравнением. Таким образом для каждого квадратного уравнения можно найти систему координат такую, что в этой системе оно представляется каноническим. При этом