1. Предел последовательности

Последовательностью называется занумерованное бесконечное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров (х₁, х₂, х₃…)

Формула, задающая член последовательности с номером n, называется общим членом.

Определение 1: число а называется пределом последовательности {х_n}, если члены этой последовательности становятся сколь угодно близки к числу а для всех достаточно больших номеров n.

Определение 2: число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любого сколь угодно малого числа ε>0 найдётся N, такое, что |x_n-a|≥ε, если n≥N.

ε-окрестностью числа а называется множество точек, удовлетворяющих неравенству |х-а|≤ ε и отстоящих от а не больше, чем на ε.

2. Бесконечно малое. Свойства

y=f(x) называется бесконечно малой при x→a, или бесконечно малой в точке a, если

Основная теорема о бесконечно малых:

Функция y=f(x) имеет число A своим пределом в точке x=a тогда и только тогда, когда f(x)=А+α(x), где α(x) – бесконечно малое в точке x=a.

Доказательство:

1) Пусть . Докажем, что f(x)=A+α(x)

α(x)=f(x)-A

Пусть f(x)=A+α(x), тогда

Свойства бесконечно малых:

1) Если α(x) и β(x) – б.м. при x→a, то α(x)+β(x) – б.м. при x→a.

Доказательство:

2) Если |f(x)|≤M, α(x) - бесконечно малое, то f(x)*α(x)=бесконечно малое (при x→0).

3) Если g(x)>M>0, а α(x) – б.м., то α(x)/g(x) – б.м..

3. Теоремы о пределах

1) {х_n}, {y_n}, {z_n} – три последовательности. х_n<y_n<z_nТогда если , то

Доказательство: x_n-a≤y_n-a≤z_n-a. x_n-a и z_n-a стремятся к 0, значит, и y_n-a→0

2) Если последовательность {х_n} является возрастающей и ограниченной сверху, то она имеет конечный предел.

Последовательность {х_n} называется возрастающей, если х₁≤х₂≤х₃≤ х_n

Аналогично – убывающая.

Последовательность {х_n} называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что x_n≤M для всех номеров n.

Аналогично – ограниченная снизу.

4. Предел функции

Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке, содержащем точку a, всюду, кроме, может быть, самой этой точки a.

Определение 1: число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если значения функции f(x) сколь угодно близки к числу A для всех значений x, достаточно близких к точке a.

Определение 2: число A является пределом функции y=f(x) в точке a, если для любого ε>0 найдётся Δ>0 такое, что для 0<|x-a|<Δ выполняется |f(x)-a|< ε.

Определение 3: число A является пределом функции y=f(x) в точке a, если |f(x)-A|< ε для x, лежащих в достаточно малой Δ-окрестности точки a.

5.Число е

Число е (exp) – иррациональное число, служащее основанием натуральных логарифмов. Это действительное десятичное число, бесконечная дробь, равная приблизительно = 2.71… , является пределом выражения (1/ ), при П стремящимся к бесконечности.