8.Непрерывность функции. Разрывы

Функция f(x) называется непрерывной в точке x, если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением в точке х.

Пусть y-f(x) определена в точке x₀ и её окрестности. Пусть x – некоторая точка из данной окрестности.

Δx=x-x₀. Δx называется приращением.

Рассмотрим f(x₀) и f(x). Δy=f(x)-f(x₀), где Δy – приращение функции, отвечающее приращению аргумента Δx.

Т.к. x=x₀+Δx, Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)

Определение. Пусть y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀, включая саму эту точку. y=f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1)

2)

3) f(x₀)

4) f(x₀)

Аналогично можно показать, что все основные элементарные функции являются непрерывными всюду, где они определены.

1) y=x²

Δy=(x₀+Δx)² - x₀² =x₀² + 2x₀Δx+Δx² – x₀²= =2x₀Δx+Δx²

2) y=sin(x)

Δy=sin(x₀+Δx)-sin(x₀)=2sin(Δx/2)*cos(x₀+Δx/2)

0

Точки разрыва.

Определение: точка x₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если в этой точке функция y=f(x) не является непрерывной.

Очевидно, что функция y-f(x) не является непрерывной в точке x₀, если:

1) функция y=f(x) не определена в точке x₀

2) в точке x₀ не существует

3)функция y=f(x) определена в точке x₀, существует , но ≠f(x₀)

Классификация точек разрыва.

1) Точки разрыва первого рода.

Пусть функция y=f(x) имеет в точке x₀ предел справа, и этот предел =A: =А

Пусть функция y=f(x) имеет в точке x₀ предел слева, и этот предел =B: =B

Если точка x₀ – просто 0, то используют обозначения ; =В

Определения:

Точа x₀ называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левый и правый пределы, но они не совпадают:

Точка разрыва 1 рода – точка, в которой функция имеет конечный скачок.

2) Точки разрыва 2 рода.

Все точки разрыва, которые не являются устранимыми точками разрыва или точками разрыва 1 рода, называются точками разрыва 2 рода.

Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке. Она называется непрерывной на этом промежутке, если она непрерывна во всех точках промежутка. Она называется кусочно непрерывной на этом промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек разрыва 1 рода.

9.Производная. Определение и геометрический смысл.

Если мы имеем точку х на оси, то, чтобы перейти в новую точку, мы даём аргументу приращение Δх (х→Δх). Δу=f(x+Δx)-f(x). Когда х получает приращение Δх, функция y=f(x) получает приращение Δу.

Определение.

Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения Δу к Δх, когда Δх стремится к 0, если этот предел существует и конечен.

y’(x) = f’(x) = y’ =

= =

Пример.

1) y=x²

Δy = (x+Δx)²-x² = x²+2xΔx+Δx²-x² = 2xΔx+Δx²

y’ =

= = = 2x+Δx) = 2x

Геометрический смысл.

Дана точка x. Рассмотрим приращение (x+Δx)

Δy=f(x+Δx)-f(x)

Производная = = =

= y’ = f’(x)

Если функция имеет в точке производную, она называется дифференцируемой в этой точке.

Пусть Δх → 0, или B→A. Каждый раз будет новая B, новый и новая хорда AB. Очевидно, что, когда B совпадёт с A, хорда совпадёт с касательной, т.е., предельное положение хорды - касательная к графику функции в точке A.

= tg ₀, где фи₀ – угол наклона касательной к оси X. Производная – тангенс угла, образованного касательной с осью X.

Из сказанного выше вытекает, что существование производной в точке x (или, иначе, дифференцируемость функции в точке x) означает, что в этой точке существует касательная к графику функции.

10.Дифференциал

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х.

11.Таблица производных

Доказательство некоторых из них:

12. Производная сложной и обратной функции

сложная

если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то

y’_x=y’_u*u’_x

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.(т е по Х возвращает У)Если:

13.Теорема Ролля, Лагранджа, Коши.

Теорема Ролля.

Теорема о нулях производной:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезка [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка. Пусть на концах отрезка она равна 0 (f(a)=0; f(b)=0). Тогда найдётся точка a<c<b, в которой f’(c)=0

Док-во: т.к. функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Пусть M=max(f(x)); m=min(f(x)) на данном отрезке.

Случай 1: max совпадает с min и равен 0

M=m=0; y=f(x)=0; f’(c)=0 ← с – любая точка, лежащая между a и b.

Случай 2: M>0

При М>0 возьмём точку с, в которой f(c)=M.

Даём с приращение с+Δх. f(c+Δx)≤f(c)=M

f’(c)=lim_Δx→0 ^{(всегда≤0)} =

= а)f’(c)≤0 при Δх≥0; б)f’(c)>0 при Δх<0 =>

=> f’(c)=0

Случай 3: M=0; m<0

В качестве с берём m и повторяем рассуждения из случая 2.

Теорема Лагранжа и Коши.

Лагранжа (Формула конечных приращений)

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезка [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка. Тогда найдётся точка a<c<b такая, что f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a)

Док-во:

Введём вспомогательное число Q=

F(x)=f(x)-f(a)+Q*(x-a)

F(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках.

F(a)=0; F(B)=0 => F(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля и => существует a<c,b такая, что F’(c)=0

F’(x)=f’(x)-Q => F’(c)=f’(c)-Q=0 => f’(c)=Q

f’(c) = ; f(b)-f(a) = f’(c)*(b-a)

Коши

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны на [a,b] и дифференцируемы во всех внутренних точках. Пусть g’(x) нигде ≠0. Тогда существует точка с, лежащая между а и b, такая, что

=

Замечание: очевидно, что если в качестве g(x) взять x, то т. Коши превращается в т. Лагранжа.