14. Правило Лопиталя

Случай 1. Неопределённость [0/0]

Теорема.

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а. Пусть f(a)=0 и g(a)=0. Тогда =

Док-во:

Применим т.Коши к отрезку [a,x].

Тогда = , где a<c<x

(т.к. f(a)=0; g(a)=0)

Пусть х→а. Тогда с→а

= =

Случай 2. Неопределённость [∞/∞]

Теорема.

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а кроме самой точки а. Пусть

Тогда

=

15. Возрастание и убывание функции

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если для двух точке x₁ и x₂ этого промежутка из условия x₁<x₂ следует

f(x₁)<f(x₂)

Теорема о возрастании:

Часть первая.

Если функция y=f(x) на некотором промежутке является возрастающей, то на этом промежутке f’(x)≥0

Часть вторая.

Если на некотором промежутке f’(x)>0, то функция y=f(x) является на этом промежутке возрастающей.

Доказательство первой части!

Пусть x – некоторая точка. Дадим приращение х+Δх.

Тогда приращение функции Δу=f(х+Δх)-f(x).

Δу=f(х+Δх)-f(x)>0, если Δх>0

Δу=f(х+Δх)-f(x)<0, если Δх<0

Поэтому всегда >0 Значит, y’=f’(x)= ≥0

Доказательство второй части!

Возьмём произвольные точки x₁ и x₂ из нашего промежутка, такие, что x₁<x₂. Запишем для таких точек формулу конечных приращений.

f(x₂)-f(x₁)=f’( )(x₂-x₁) => f(x₂)>f(x₁), т.е., функция является возрастающей.

Теорема об убывающей функции.

1) Если y=f(x) является убывающей на некотором промежутке, то на этом промежутке f’(x)≤0.

2) Если f’(x) на некотором промежутке ≤0, то f(x) на этом промежутке является убывающей.

Док-во аналогично предыдущему.

16.Экстремумы.

17. Асимптоты.

Прямая называется асимптотой графика y=f(x) если при удалении точки вдоль графика функции на бесконечность расстояние от этой точки до прямой →0

х=х₀ – уравнение вертикальной ас. Прямая явл. вертикальной ас. если х₀ – точка разрыва 2 рода. При этом либо lim_x→x0+0f(x)=+/-∞, либо

lim_x→x0-0f(x)=+/-∞

Наклонная

Прямая y=kx+b – наклонная асимптота (к≠0), если lim_x→∞(f(x)-(kx+b))=0 Аналогично – при х→-∞

k= lim_x→∞(f(x)/x) b= lim_x→∞(f(x)-kx) – это необхожимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.

18. Первообразная. Неопределённый интеграл.

Первообразная

Функция F(x) называется первообразной для f(x) на интервале (a,b) если F (x) дифференцируема на (a,b) и F‘(x)=f(x).

§ Первообразная суммы равна сумме первообразных

§ Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

§ У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Неопределённый int

Множество всех первообразных функции называется неопределённым интегралом.

19. Таблица интегралов

1) ∫ xdx = +C

2) ∫ dx = ln|x|+C

3) ∫ a^xdx = +C

4) ∫ e^xdx = e^x+C

5) ∫ sinxdx = -cosx+C

6) ∫ cosxdx = sinx+C

7) ∫ dx = tgx+C

8) ∫ dx = -ctgx+C

9) ∫ dx = arctgx+C

10) ∫ dx = arctg +C

Док-во: ∫ = ∫

(a-arctg )+C = arctg +C

11) ∫ dx = arcsinx+C

12) ∫ dx = arcsin +C

20. Свойства неопределённых интегралов

1. Интеграл суммы равен сумме интегралов.

2. ∫аf(x)dx=a∫f(x)dx

3. Если ∫f(x)dx=F(x)+C то ∫f(αx)dx=1/αF(αx)+C

4. Если ∫f(x)dx=F(x)+C то ∫F(x+B)dx=F(x+B)+C

5. объединённые 3 и 4

21.Замена переменной. Подведение под знак дифференциала

Подведение под знак дифференциала

22.Интегрирование по частям.

∫UdV=UV-∫VdU

Док-во:

d(UV)=UdV+VdU проинтегрируем!

∫d(UV)= ∫UdV+∫VdU

∫UdV=UV-∫VdU

Примеры:

1) ∫lnx dx=xln-∫x(1/x)dx=xlnx–∫dx=lnx*x-x+C=

=x(lnx-1)+C

U=ln x dU=(1/x)dx ; V=x  dV=dx

2) ∫xcosxdx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C

U=x dU=dx ; V=sinx dV=cosxdx

3) ∫xe^xdx  =xe^x -∫e^x dx=xe^x –e^x +C

U=x           dU=dx dV= e^xdx       V=e^x

23.Интегрирование функций, содержащих ax^2+bx+c

24. Интегрирование простейших дробей

25. Разложение дробей на простейшие

26.Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим интеграл

 — целые числа. Замена вида

 где к — общий знаменатель приводит к интегралу от рациональной функции  Пример:

Аналогично поступаем, если вместо линейной функции ах + b стоит дробно-линейная Интегрирование некоторых других иррациональностей см. в ОК № 16. Примеры:

Замечание. В 16.1 — 16.3 рассмотрены классы интегрируемых функций. Но можно привести многочисленные примеры интегралов от элементарных функций, которые существуют, но не выражаются через элементарные функции. Например,

 — интеграл Пуассона,

 — интегральный синус,

 — интегральный косинус,

 — интегральный логарифм,

интегралы   Френеля,

Для их решения можно воспользоваться, например, разложением подынтегральной функции в ряд.