27. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида где R(sin х, cos x) — рациональная функция от sin х и cos х (рациональной функцией R(u, v) называется зависимость, связывающая переменные u и v с помощью четырех арифметических операций).

Интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби R(t) путем так называемой универсальной подстановки tg(x/2) = t,

Найдем, используя тригонометрические формулы, выражения для sin x и cos x через t:

Пример:

Укажем случаи, когда более выгодными являются другие подстановки.

2. Интегралы вида целые числа, а) Действительно,

Аналогично для n = 2q+ 1. б) Переход к удвоенному аргументу приводит к понижению степени.

Пример:

3. Интегралы вида Замена вида tg x = t, x = arctg t, приводит к интегралу от рациональной функции

Пример:

28. Определённый интеграл. Свойства

29. Формула Ньютона-Лейбница

30. Замена переменной в опр интеграле

31.Интегрирование по частям для опр интеграла

32. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку

Рассмотрим функцию определенную и непрерывную на промежутке . Очевидно, определение определенного интеграла на таком промежутке бессмысленно. Предположим, что данная функция интегрируема на любом конечном промежутке вида [a, A]. Тогда интегралом от этой функции по бесконечному промежутку назовем . Обозначать этот интеграл будем как . Таким образом