- •21. Матрицы. Слу в матричной форме.
- •22. Матрица как линейный оператор
- •23. Умножение матриц.
- •24. Определители. Определители 2 и 3 –го порядков.
- •25. Свойства определителей.
- •26. Миноры. Алг. Дополнения
- •27. Разложение определителей по элементам строки.
- •28. Единичная матрица. Обратная матрица.
- •29. Теорема и формулы Крамера.
- •30. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы
- •31. Метод Гаусса для решения линейных систем.
- •32. Решение слу методом Жордана-Гаусса
- •33. Ранг. Теорема Кронекера-Капелли
- •34. Собственные вектора и собственные значения.
- •35. Комплексные числа. Алгебра к.Ч.
- •36. Тригонометрическая форма к.Ч.
- •37. Формулы Эйлера. Показательная форма к.Ч.
- •38. Возведение в степень к.Ч.
- •39. Решение алгебраического уравнения n-ной степени. Извлечение корней к.Ч.
- •40. Логарифм к.Ч. (последняя формула)
40. Логарифм к.Ч. (последняя формула)
Определение и свойства
Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначается и определяется как решение уравнения (другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже).
В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно тождеству Эйлера, ; однако также Это связано с тем, что показательная функция вдоль мнимой оси является периодической (с периодом ), и одно и то же значение функция принимает бесконечно много раз. Таким образом, комплексная логарифмическая функция является многозначной.
Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое можно представить в показательной форме:
Тогда находится по формуле:
Здесь — вещественный логарифм, — произвольное целое число. Отсюда вытекает:
-
Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая часть имеет бесконечное множество значений, различающихся на целое кратное
Вещественная часть комплексного логарифма
Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.
Из приведенной формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:
На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к
Логарифм отрицательного числа находится по формуле: