1.2.4. Плоскопараллельное (плоское) движение тела

 Плоскопараллельным  или  плоским называют движение твердого тела, при  котором  все  точки  тела  движутся  в  плоскостях,  параллельных   некоторой  неподвижной  плоскости.

         Плоское    движение  тел  является одним из наиболее распространенных в технике.  Плоское движение совершают тела качения  ( колеса,  катки,  цилиндры )  на  прямолинейном  участке пути;  отдельные детали  механизмов,  предназначенных  для преобразования вращательного движения одного тела в поступательное  или колебательное  другого;  шестерни  планетарных  передач. 

       В теории плоского движения тел  доказывается несколько  предложений.

1. Для описания плоского движения тел достаточно описать движение точек одного сечения тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости.

           Пусть тело перемещается параллельно неподвижной плоскости  П₁.    Проведем  через тело  параллельно ей плоскость  П₂ .   Сечение  тела по определению будет перемещаться в этой плоскости.

         Возьмем две произвольные точки  ( А и В ) в сечении   и рассмотрим движение отрезков,  проведенных из точек перпендикулярно плоскости П₁.

        При движении тела отрезки АА₁ и ВВ₁ будут перемещаться параллельно самим себе, то есть  поступательно.    Это значит, что все точки отрезка АА₁ будут иметь одинаковые траектории, одинаковые скорости и одинаковые  ускорения.

       То же самое  можно сказать о скоростях и ускорениях  всех точек тела, расположенных на отрезке  ВВ₁.    Отсюда вывод о достаточности описания движения только точек тела, находящихся в сечении тела плоскостью,  параллельной неподвижной плоскости.

2. Движение тела может рассматриваться как результат сложения поступательного движения и вращения тела относительно одной из точек тела, называемой полюсом.

         Свяжем с движущейся плоскостью сечения подвижную систему координат Аxy  с началом в точке А  и рассмотрим движение этой системы осей относительно неподвижной системы координат  OXY.  

        Для того, чтобы получить положение подвижной  системы осей,  необходимо: оси OX   и  OY  неподвижной системы перенести параллельно самим себе из точки О в точку А  (поступательное движение)  и повернуть эти оси на угол  .

        Поступательное движение связанных с телом осей можно описать, задав  уравнения  движения  точки А.

        Поворот осей описывается уравнением  вращательного  движения.

 Поэтому  уравнения  вида :

               X_A  = X_A (t) ;

      Y_A  = Y_A (t) ;

                                                    φ  =  φ(t)

Называют уравнениями плоского или плоскопараллельного движения твердого тела.

         Точку тела, характеристики движения которой известны,  в теории плоского движения принято называть полюсом.      В приведенном  случае полюсом является точка А.

       По уравнениям плоского движения в любой момент времени можно определить положение, скорость и ускорение полюса и характеристики вращательного движения тела -  то есть его угловую скорость и его угловое ускорение. Определяются и уравнения движения любой другой точки тела,  положение которой относительно полюса задано.   Здесь возможны следующие два варианта.

Здесь решается стандартная в начертательной геометрии задача перехода от одной системы координат к другой.

          По уравнениям движения точки В могут быть определены траектория  точки,  ее скорость и ускорение. На практике же  траектории точек тел при плоском их движении определяются исключительно редко, а для определения скоростей и ускорений точек используются векторные формулы,  получаемые на основании теорем  о скоростях и ускорениях точек при плоском движении.  Эти теоремы и следствия из них рассмотрим чуть позже.  Докажем  предварительно третье предложение - теорему следующего содержания.