226
.pdfБЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Техническая физика»
Лаборатория электричества и магнетизма
Лабораторная работа № 226
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ
Составители: Сакевич Л. А., Францкевич Н. В.
Минск 2012
2
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
Исследовать влияние параметров колебательного контура на его амплитудно-частотные и
резонансные характеристики.
Приборы и принадлежности:
1.Генератор переменного напряжения
2.Вольтметр
3.Частотомер
4.Электрическая схема L-C-R контура
Литература:
1.Методические указания к работе.
2.И. В. Савельев "Курс общей физики" Т.2, М., Наука 1982 г. §101, стр. 364—369
3.И. И. Наркевич, Э. И. Волмянский, С. И. Лобко. Физика для ВТУЗов, Минск, «Вышэйшая школа» 1994 г.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1.Какие колебания называют вынужденными?
2.Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение для установившихся колебаний.
3.От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний?
4.Какое явление в колебательном контуре называют резонансом?
5.Что называется амплитудно-частотной характеристикой контура?
6.Что называется резонансной кривой контура?
7.Как определяются следующие параметры:
резонансная частота контура?
добротность контура?
полоса пропускания контура?
8. Где применяется явление резонанса?
3
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Чтобы в электрическом колебательном контуре возбудить вынужденные колебания,
нужно включить последовательно с элементами L-C-R контура источник переменной э. д. с.
или подать переменное напряжение U U m cos t .
Рис.1. Последовательный L-C-R контур с источником переменного напряжения.
Второе правило Кирхгофа (правило контуров) для такого контура будет иметь вид:
IR |
|
q |
L |
dI |
|
Um cos t. |
|
(1) |
|||
|
C |
dt |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разделив это выражение на |
L |
и заменив ток I |
через q , а |
dI |
через q , получим |
||||||
dt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дифференциальное уравнение вынужденных колебаний: |
|
|
|||||||||
q |
2 |
q |
2q |
Um |
cos |
t. |
|
(2) |
|||
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
L |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь |
2 |
|
0 |
||
|
1 |
и |
R |
, где ω0-циклическая частота собственных незатухающих |
|
LC |
2L |
|||
|
|
колебаний, β- коэффициент затухания.
В первые моменты времени после замыкания цепи будут возбуждаться колебания сложной формы, которые представляют собой сумму свободных затухающих (qc) и
вынужденных незатухающих (qв) колебаний, происходящих с разными частотами ω1 и ω, где
|
2 |
2 |
- частота свободных затухающих колебаний, а ω – частота источника |
1 |
0 |
|
|
|
|
4
переменного напряжения. Тогда при условии, что β<<ω0 , решение дифференциального уравнения имеет вид:
q q |
q |
q e t cos( |
t |
) q |
cos( t |
) , |
(3) |
c |
в |
m1 |
1 |
m2 |
|
|
|
где qm1e
t и qm 2 - амплитуды затухающего и вынужденного колебания соответственно.
График такого процесса представлен на рисунке 2.
Рис.2. Установление вынужденных колебаний.
С течением времени (t1) собственные колебания будут затухать, тем быстрее, чем больше коэффициент затухания β, после чего реализуются только установившиеся вынужденные колебания. Следовательно, по истечении времени t1 первым слагаемым в выражении (3) можно пренебречь. Тогда установившиеся вынужденные колебания
описываются уравнением
|
|
|
|
q |
|
qm cos( t |
|
) , |
(4) |
||
где qm |
|
|
|
Um |
|
, tg |
|
2 |
|
- амплитуда и начальная фаза |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||
L ( |
2 |
2 )2 4 2 2 |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
колебаний соответственно.
Подставив значения
2
0
1 |
и |
R |
|
, получаем: |
|
|
|
|||
LC |
2L |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
qm |
|
|
|
|
Um |
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
R2 |
( L |
1 |
)2 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
C |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
tg |
|
|
R |
|
, |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где L X L , |
1 |
X C |
- реактивные сопротивления катушки индуктивности и |
|||||||
|
||||||||||
C |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
конденсатора соответственно.
Продифференцировав уравнение (4) по времени t , найдем силу тока в контуре:
I |
qm sin( t |
) Im cos( t |
|
) , |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
Im 
qm - амплитуда силы тока. Тогда запишем
|
|
|
|
|
I |
Im cos( t |
) , |
|
|
|
|
(7) |
|||||
где |
|
|
|
- сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. |
|||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В соответствии с (6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
tg |
tg( |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Из этой формулы следует, что ток отстает по фазе от напряжения ( |
0 ) в том случае, |
||||||||||||||||
когда L |
1 |
, и опережает напряжение ( |
0 ), если |
L |
|
1 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|||||
Согласно (5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
I |
qm |
|
|
Um |
|
|
|
|
|
|
(9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
R2 |
( L |
1 |
)2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Представим выражение (1) в виде:
IR |
q |
L |
dI |
Um cos t, |
|
C |
dt |
||||
|
|
|
6
где IR |
UR - напряжение на активном сопротивлении, |
||||
|
q |
UC - напряжение на конденсаторе, |
|||
|
|
|
|
||
|
C |
||||
|
|
|
|||
|
L |
dI |
|
UL - напряжение на индуктивности. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
dt |
|
|
Тогда выражение (1) можно переписать в виде:
U R UC U L Um cos t. |
(10) |
Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне (рис. 1). Определим значения напряжений на каждом элементе контура:
U R U Rm cos( t ) , где U Rm RIm |
(11) |
Разделив выражение (4) на емкость C , получим напряжение на конденсаторе:
U |
|
qm |
cos( t |
) U |
|
cos( t |
|
) |
(12) |
C |
|
Cm |
|
||||||
|
C |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь
U |
|
qm |
|
|
Um |
|
|
|
|
Im |
. |
(13) |
Cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
C |
|
|
|
1 |
|
|
|
C |
|
||
|
|
|
C R2 ( L |
)2 |
|
|
||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножив производную функции (7) на L, получим напряжение на индуктивности:
UL |
L |
dI |
LIm sin( t |
) ULm cos( t |
|
). |
(14) |
|
dt |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Здесь
U Lm |
LI m . |
(15) |
7
Сопоставив формулы (7), (11), (12), (14) мы видим, что напряжение на емкости отстает
по фазе от силы тока на 2 , а напряжение на индуктивности опережает ток на 2 .
Напряжение на активном сопротивлении изменяется в одинаковой фазе с током. Фазовое соотношение между силой тока и напряжением в контуре можно представить наглядно с помощью векторной диаграммы (рис.3)
Рис.3. Фазовое соотношение между током и напряжением в контуре при условии
а) L |
1 |
, |
0 ; б) L |
1 |
, |
0 ; в) L |
1 |
, |
0. |
|
C |
C |
C |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Из выражений (5), (9), (11), (13), (15) видно, что значения амплитуд заряда, тока и напряжений зависят от значения частоты внешнего источника. Явление резкого возрастания
амплитуды вынужденных колебаний в колебательном контуре – называется резонансом, а
частота, при которой это явление наблюдается – резонансной. Резонансная частота для
заряда qm и напряжения на конденсаторе UCm равна
|
|
|
|
|
|
1 |
|
R2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
0. |
(16) |
||||
qрез |
Uрез |
0 |
|
|
C |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
||
Резонансные кривые для UCm изображены на рисунке |
4а (резонансные кривые для |
|||||||||
заряда qm имеют такой же вид).
8
а) |
б) |
Рис.4. Зависимость амплитуды напряжения на конденсаторе (а) и амплитуды силы тока (б) от
частоты источника.
При 
0 резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой UCm U m , равной
напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения Um . Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем
меньше коэффициент затухания |
R |
, т.е. чем меньше активное сопротивление и больше |
|||
2L |
|||||
|
|
|
|
||
индуктивность контура. |
|
|
|
|
|
Резонансные кривые для силы тока изображены на рисунке 4б. Амплитуда силы тока |
|||||
имеет максимальное значение при |
L |
1 |
0 . Следовательно, резонансная частота для |
||
|
|
||||
|
C |
||||
|
|
|
|
||
силы тока совпадает с собственной частотой контура 0 : |
|||||
|
|
1 |
|
(17) |
|
|
|
|
|
||
рез 0 |
|
|
|||
LC |
|||||
|
|
||||
|
|
|
|
||
Такое состояние контура называется резонансом напряжений. При резонансе
0 L |
1 |
(18) |
|
|
|||
0C |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
т.е. индуктивные и емкостные сопротивления равны его волновому сопротивлению. |
А при |
|||||||||||||||||||
0 амплитуда силы тока также стремится к нулю, т.к. при постоянном напряжении |
||||||||||||||||||||
установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
При |
малом |
затухании ( 2 |
2 ), |
резонансную |
частоту и |
для напряжения |
можно |
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
считать |
равной |
0 , соответственно |
рез L |
1 |
|
|
0 . Тогда |
отношение амплитуды |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
резC |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
напряжения на конденсаторе при резонансе UCmрез |
к амплитуде внешнего напряжения Um |
|||||||||||||||||||
будет равно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UCmрез |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
LC |
1 |
|
L |
|
Q |
|
(19) |
|||||||
|
|
|
Um |
|
0CR |
|
CR |
|
|
R |
|
C |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Здесь Q – добротность контура. Таким образом, Q показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе при резонансе может превысить приложенные
напряжения.
Явление резонанса может использоваться для усиления входного напряжения или для выделения из сложного приложенного напряжения нужной составляющей. Настроив
контур на одну из частот 1 , 2 |
и т. д. (т. |
е., подобрав соответствующим образом его |
|
параметры C и L ), можно получить на |
конденсаторе напряжение, |
в несколько раз |
|
превышающее величину данной |
входной |
составляющей, в то время |
как напряжение, |
создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс имеет место, например, при настройке радиоприемника на нужную частоту.
Диапазон частот, в пределах которого мощность уменьшается не более чем в 2
раза по сравнению с максимальной, называется полосой пропускания контура. В этом диапазоне допускается использование колебательного контура. Принято считать, что, так как мощность пропорциональна квадрату тока (напряжения), то на границах полосы
пропускания (рис.5а) величина тока (напряжения) составляет |
Imax |
|
( |
U |
max |
|
) : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
(20) |
||||||||||
|
I |
|
|
|
|
|
Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
Принимая во внимание преобразование |
L |
|
L 1 |
L 1 |
0 |
, |
|||
|
|
|
|
||||||
|
C |
|
2 LC |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
при частотах, близких к резонансной, когда |
0 и |
|
0 2 |
0 , получаем |
|
|
|||
L |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
RQ . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
C |
0 |
|
|
|
L |
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь отношение (20) примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
Q |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда полоса пропускания: П 2 |
|
|
0 / Q или П 2 |
|
|
|
0 / Q . |
|||||||||||||||||||||
Очевидно, полоса пропускания контура тем уже, а резонансная кривая тем острее, чем |
||||||||||||||||||||||||||||
выше добротность контура. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отношение напряжения на конденсаторе (выходного напряжения) UCm к входному |
||||||||||||||||||||||||||||
напряжению Um называется коэффициентом передачи напряжения |
||||||||||||||||||||||||||||
K |
|
UCm |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(22) |
|||||||||||
|
|
Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
R2 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Зависимость коэффициента передачи от частоты источника питания называется амплитудно-частотной характеристикой контура. Если амплитуду входного напряжения поддерживать постоянной и равной одному вольту, зависимость напряжения, снимаемого с контура UCm , от частоты, выражаемой формулой (22), будет представлять амплитудночастотную характеристику контура, вид такой характеристики представлен на рисунке 5б.