Интеграл Фурье для четной и нечетной функций.

Пусть ƒ(x) – четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье. _{+∞ l}

Учитывая, что ∫ = lim ∫, а также свойство интегралов по симметричному относительно

^{-∞ l→ + ∞ -l}

точки х→0 интервалу от четных функций, из равенств (7) получаем:

_+∞

a(u)=2/π ∫ ƒ(t)cos (ut)dt

⁰ }(8)

b(u)=0

Таким образом, интеграл Фурье четной функции ƒ(x) запишется так:

_+∞

ƒ(x)= ∫ a(u)cos (ux)du (9)

⁰

Где а(u) определяется равенством (8).

Рассуждая аналогично, получим, что для нечетной функции ƒ(x), удовлетворяющей условиям представимости интегралом Фурье,

а(u)=0

_+∞ }(10)

b(u)= 2/π ∫ ƒ(t)sin (ut)dt

⁰

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

_+∞

ƒ(x)= ∫ b(u)sin (ux)du (11)

⁰

где b(u) определяется равенством (10).

Заметим, что если функция ƒ(х) задана на промежутке [0, +∞) и удовлетворяет на этом промежутке условиям представимости интегралом Фурье (т.е. ƒ(х) – абсолютно интегрируемая функция на промежутке [0, +∞) и кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на любом отрезке [0, l]), то формула (9) продолжает функцию ƒ(х) на всю числовую ось. Подставляя выражения а(u) и b(u) (формулы (8) и (10)) в равенства (9) и (11), получаем:

_{+∞ +∞}

ƒ(x)= 2/π ∫ cos (ux)du ∫ ƒ(t)cos (ut)dt (12)

⁰ _+∞ ⁰ _+∞

ƒ(x)= 2/π ∫ sin (ux)du ∫ ƒ(t)sin (ut)dt (13)

^{0 0}

Первые части равенств (12) и (13) для четной и нечетной функций, представимых интегралом Фурье, называются двойным интегралом Фурье соответственно четной и нечетной функций.

Интеграл Фурье в комплексной форме.

Пусть ƒ(х) – функция, представимая интегралом Фурье, тогда на основании формулы (6) _+∞

ƒ(x)= ∫ [a(u)cos (ux) + b(u)sin (ux)]du

⁰

при этом по формулам (7) имеем: _+∞

a(u)= 1/π ∫ ƒ(t)cos (ut)dt

^-∞ _+∞

b(u)= 1/π ∫ ƒ(t)sin (ut)dt

^-∞

Преобразуем подынтегральное выражение, используя формулы Эйлера:

a(u)cos (ux) + b(u)sin (ux)=(a(u)(e^(inx)+ e^(-inx)))/2 + (b(u)(e^(inx) - e^(-inx)))/2i=(a(u)(e^(inx)+ e^(-inx)))/2 – (ib(u)(e^inx) – e^(-inx)))/2=((a(u) – ib(u))e^(inx))/2 + ((a(u) + ib(u))e^(-inx))/2

Если обозначить

(a(u) - ib(u))/2=c(u)

} u≥0

(a(u) + ib(u))/2=c(-u)

то подынтегральная функция запишется так:

a(u)cos ux + b(u)sin ux= c(u)e^(inx)+ c(-u)e^(-inx)

и, значит, _{+∞ +∞}

ƒ(x)= ∫ [a(u)cos (ux) + b(u)sin (ux)]du= ∫ [c(u)e^(inx) + c(-u)e^(-inx)]du

^{0 0}

или, иначе _A

ƒ(x)= lim ∫ [c(u)e^(inx) + c(-u)e^(-inx)]du (14)

^{A→ + ∞ 0}

Преобразуем теперь частные интегралы, входящие в равенство (14):

_{A A A A 0}

∫ [c(u)e^(inx) + c(-u)e^(-inx)]du=∫ c(u)e^(inx)du +∫ c(-u)e^(-inx)du=∫ c(u)e^(inx)du +∫ c(

^{0 0} _A ^{0 0 -A}

u)e^(-inx)du=∫ c(u)e^(inx)du

_A ^-A

(При этом мы учли, что интеграл ∫ c(-u)e^(-inx)du= с помощью подстановки –u = v

_A ⁰

примет вид ∫ c(v)e^(inx)dv, который, как известно, не зависит от написания переменной

^-A

₀

интегрирования и поэтому может быть записан в виде ∫ c(u)e^(inx)du).

^-A

Учитывая это, равенство (14) запишем следующим образом:

₀

ƒ(x)= lim ∫ c(u)e^(inx)du

Или, что то же, ^{A→ + ∞ -A}

_+∞

ƒ(x)= ∫ c(u)e^(inx)du (15)

^-∞

Найдем теперь выражение для с(u). Так как

_{+∞ +∞ +∞}

c(u)=(a(u) – ib(u))/2=1/2(1/π ∫ ƒ(t)cos(ut)dt – i(1/π) ∫ ƒ(t)sin(ut)dt)=1/2π ∫ ƒ(t)(cos(ut) –

^-∞ _+∞ ^{-∞ -∞}

isin(ut))dt=1/2π ∫ ƒ(t)e^(-inx)dt

^-∞

То окончательно _+∞

c(u)=1/2π ∫ ƒ(t)e^(-inx)dt (16)

^-∞

Равенство (16) получено при условии, что u≥0, нетрудно видеть, что оно сохраняется и при u<0. Действительно,

_{+∞ +∞ +∞}

c(-u)=(a(u) + ib(u))/2=1/2(1/π ∫ ƒ(t)cos(ut)dt + 1/π) ∫ ƒ(t)sin(ut)dt)= 1/2π ∫ ƒ(t)e^(

^-∞ _+∞ ^{-∞ -∞}

-inx)dt=1/2π ∫ ƒ(t)e^(-i-nx)dt

^-∞

Из сравнения выражений для с(u) и с(-u) заключаем, что равенство (16) верно при всех

_+∞

действительных значениях u. Выражение ƒ(x)= ∫ c(u)e^(inx)du называется интегралом

^-∞

Фурье в комплексной форме функции ƒ(x).

Если выражение с(u) подставить в равенство (15), то получим:

_{+∞ +∞}

ƒ(x)= 1/2π ∫ e^(inx)du ∫ ƒ(t)e^(-inx)dt

^{-∞ -∞}

или после внесения e^(inx) под знак внутреннего интеграла:

_{+∞ +∞}

ƒ(x)= 1/2π ∫ du ∫ ƒ(t)e^(in(x-x))dt (17)

^{-∞ -∞} _A

где наружный интеграл понимается как lim ∫.

_{+∞ +∞} ^{A→ + ∞ -A}

Выражение 1/2π ∫ du ∫ ƒ(t)e^(in(t-π))dt называется двойным интегралом Фурье в

^{-∞ -∞}

комплексной форме функции ƒ(x)