Комплексная форма ряда Фурье.

Пусть ƒ(x) – периодическая функция периода Т=2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, тогда _∞

ƒ(x)= a₀ /2 + Σ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))

ⁿ⁼¹

при этом коэффициенты ряда определяются равенствами:

_π

а_n=1/π∫ ƒ(x) cos(nx)dx, (n=0,1,2,…)

^-π _π }

b_n=1/π∫ ƒ(x) sin(nx)dx, (n=1,2,…)

^-π

Преобразуем общий член ряда а_n сos nx + b_n sin nx с помощью формул Эйлера:

а_n сos nx + b_n sin nx= а_n(e^(inx) + e^(-inx))/2 + b_n(e^(inx) - e^(-inx))/2i= а_n(e^(inx) + e^(-inx))/2 - ib_n(e^(inx) - e^(-inx))/2=((а_n - ib_n)/2)e^(inx) + ((а_n + ib_n)/2)e^(-inx)

Если положить:

с₀ = a₀ /2, с_n= (a_n - ib_n)/2, с_-n=(a_n + ib_n)/2

или, что то же, _{_}

с_-n= с_n

то общий член ряда Фурье запишется в виде:

а_n сos nx + b_n sin nx= с_n e^(inx) + с_-n e^(-inx)

и, таким образом, частная сумма ряда Фурье запишется так:

_{N N N}

a₀ /2 + Σ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))= c₀+ Σ (c_n e^(inx) + c_-n e^(-inx)=Σ c_n e^(inx)

^{n=1 n=1 n=-N}

Переходя в этом равенстве к пределу при N→+∞ и обозначив

_{N +∞}

lim Σ с_n e^(inx)=Σ с_n e^(inx)

^{N→+∞ n= -N -∞}

получим:

_{N N +∞}

ƒ(x)=lim[a₀ /2 + Σ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))]= lim Σ с_n e^(inx)= Σ с_n e^(inx)

^{N→+∞ n=1 N→+∞ n= -N -∞}

т.е. _+∞

ƒ(x)= Σ с_n e^(inx) (1)

^-∞

Найдем теперь выражения для коэффициентов с_n. Действительно, если учесть выражения для а_n и b_n, то получим:

_{π π π}

с_n=(a_n - i b_n)/2=1/2(1/π ∫ ƒ(x) cos(nx)dx – i(1/n )∫ ƒ(x) sin(nx)dx)=1/2π ∫ ƒ(x)(cos(nx) –

_π ^{-π -π -π}

isin(nx))dx=1/2π ∫ ƒ(x) e^(-inx)dx

^-π

т.е. _π

c_n=1/2π∫ ƒ(x) e^(-inx)dx (n=1,2,…)

^-π _π

c₀= a₀ /2=1/2π ∫ ƒ(x)dx

^-π

_{π π π}

c_-n=(a_n - ib_n)/21/2(1/π ∫ ƒ(x) cos(nx)dx + i(1/n )∫ ƒ(x) sin(nx)dx)=1/2π ∫ ƒ(x)(cos(nx) +

_π ^{-π -π -π}

isin(nx))dx=1/2π ∫ ƒ(x) e^(inx)dx (n=1,2,…)

^-π

Нетрудно видеть, что при всех целых n справедливо равенство

_π

c_n=1/2π∫ ƒ(x) e^(inx)dx (n=0, ±1, ±2,…) (2)

^-π

при этом интегрирование можно вести по любому отрезку длины 2π.

_+∞

Выражение Σ c_n e^(inx) называется комплексной формой ряда Фурье функции ƒ(x),

^-∞

если с_n определяется равенством (2).

Комплексная форма ряда Фурье периодической функции периода Т=2l.

Пусть ƒ(x) – периодическая функция периода Т=2l удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда подстановка х=(l/π)t приводит к функции ƒ(lt/π) на период 2π, разложимой в ряд Фурье. Для такой функции по формулам (1) и (2) имеем:

_{∞ π}

ƒ(lt/π)= Σ c_n e^(int), где c_n=1/2π ∫ ƒ(de/π) e^(-int)dt

^{-∞ -π}

Переходя к аргументу х с помощью подстановки t=πx/l, получим:

_∞

ƒ(x)= Σ c_n e^(inπx/l) (3)

^-∞

при этом _l

c_n=(1/2π)(π /l) ∫ ƒ(x) e^(-inπx/l)dx

или окончательно ^-l

_l

c_n=1/2l ∫ ƒ(x) e^(-inπx/l)dx (4)

_∞ ^-l

Выражение Σ c_n e^(inπx/l), называется комплексной формой ряда Фурье функции ƒ(x),

^-∞

если с_n определяется равенством (4).