Тригонометрические ряды Фурье для функции любого периода.

Пусть ƒ(x) – периодическая функция периода Т=2l (l – полупериод), кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке [-l, l]. Полагая х=аl, получим функцию ƒ(аt) аргумента t, период которой равен 2π/a. Подберем a так, чтобы период функции ƒ(at) был равен 2π, т. е.

T/a=2l/a=2π, откуда а=1/π

Тогда подстановка х=(1/π)t (сжатие или растяжение по оси ОХ) приводит к функции ƒ(lt/π) периода 2π. Эта функция удовлетворяет условию разложимости в ряд Фурье, так как она кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке [-π, π]. (Нетрудно видеть, что отрезку [-l, l] значений x соответствует отрезок [-π, π] значений t).

Разлагая функцию ƒ(lt/π) в ряд Фурье, получим

_∞

ƒ(lt/π)= a₀ /2 + Σ (a_n cos(nt) + b_n sin(nt)) (1)

ⁿ⁼¹

при этом _π

a_n=1/π∫ ƒ(x)cos(nx)dx n=0,1,2…,

^-π _π } (2)

b_n=1/π∫ ƒ(x)sin(nx)dx n=1,2…,

^-π

Исходя из равенства х =(1/π)t, перейдем теперь к переменной х. Так как t=(π/l)x, dt = (π/l)dx и пределы интегрирования по t от –π до π соответствуют пределы по х от –l до l, то

_∞

ƒ(x)= a₀ /2 + Σ (a_n cos(nπx/l) + b_n sin(nπx/l)) (3)

ⁿ⁼¹

при этом

_{l l}

a_n=(1/π)(π /l)∫ ƒ(x)cos(nπx/l)dx=1/l∫ ƒ(x)cos(nπx/l)dx n=0,1,2…

^-l _l ^-l _l

b_n=(1/π)(π /l)∫ ƒ(x) sin(nπx/l)dx=1/l∫ ƒ(x)sin(nπx/l)dx n=1,2…

^{-l -l}

Ряд Фурье любой функции ƒ(x) периода T=2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l], называется тригонометрический ряд вида: _∞

a₀ /2 + Σ (a_n cos(nπx/l) + b_n sin(nπx/l)) (3')

ⁿ⁼¹

коэффициенты которого определяются равенствами:

_l

a₀=1/l∫ ƒ(x)dx

_l ^-l

a_n=1/l∫ ƒ(x) cos(nπx/l)dx, n=1,2,… }(4)

^-l

_l

b_n=1/l∫ ƒ(x) sin(nπx/l)dx, n=1,2,…

^-l

Если ƒ(x) – функция периода Т=2l, кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке [-l, l], то она разлагается в ряд Фурье, т. е. равенство (3) справедливо во всех точках непрерывности функции ƒ(x).

В точках разрыва функции ƒ(x) сумма ряда Фурье равна:

^{ƒ(х - 0) + ƒ(х + 0)}.

²

Ряд Фурье четной и нечетной функций любого периода Т (Т=2l).

Пусть ƒ(x) – четная, кусочно-монотонная или кусочно-гладкая функция на отрезке [-l, l], тогда ее можно разложить на этом отрезке в ряд Фурье. По свойству интеграла по симметричному относительно х=0 интервалу получим b_n=0, n=1,2,...,

_l

a₀=1/l∫ ƒ(x)dx

⁰_l }(5)

a_n=2/l∫ ƒ(x) cos(nπx/l)dx, n=1,2,…

⁰

Таким образом, ряд Фурье четной функции ƒ(x) периода T=2l запишется в виде:

_∞

ƒ(x) = a₀ /2 + Σ a_n cos(nπx/l) (6)

ⁿ⁼¹

при этом коэффициенты ряда определяются равенствами (5).

Если ƒ(x) – нечетная функция, кусочно-монотонная или кусочно-гладкая на отрезке [-l, l], то а_n=0, n=0,1,2,…, _l

b_n=2/l∫ ƒ(x) sin(nπx/l)dx, n=1,2,… (7)

⁰

Ряд Фурье нечетной функции периода T=2l имеет вид:

_∞

ƒ(x) = Σ b_n sin(nπx/l) (8)

ⁿ⁼¹

При этом коэффициенты ряда определяются равенствами (7). Следует иметь ввиду, что все сделанные раньше замечания относительно разложения в ряд Фурье функции ƒ(x), заданной на отрезке [-π, π] [интервале (-π, π)], остаются справедливыми и для функции ƒ(x), заданной на отрезке [-l, l] [интервале (-l, l)]. Аналогично все сказанное о разложении функции на отрезке [0, π] [интервале (0, π)] переносится на отрезок [0, l] [интервале (0, l)].