Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2π.

Прежде всего отметим, что в дальнейшем нам придется пользоваться следующим свойством интеграла по симметричному относительно х-0 промежутку:

_a 0, если ƒ(x) – нечетная функция

∫ ƒ(x)dx={ _a

^-a 2 ∫ ƒ(x)dx, если ƒ(x) – четная функция

⁰

В самом деле,

_{a 0 a}

∫ ƒ(x)dx=∫ ƒ(x)dx + ∫ ƒ(x)dx

^{-a -a 0}

Сделаем в первом интеграле подстановку х= -t, тогда

_{0 0 a a}

∫ ƒ(x)dx= – ∫ ƒ(–t)dx=∫ ƒ(–t)dx=∫ ƒ(–x)dx

^{-a a 0 0}

При этом

_{a a}

∫ ƒ(x)dx=∫[ƒ(x) + ƒ(-x)]dx

^{-a 0}

Если ƒ(x) – четная функция, то ƒ(-x)= ƒ(x) и, следовательно,

_{a a}

∫ ƒ(x)dx=2∫ƒ(x)dx

^{-a 0}

Если же ƒ(x) нечетная функция, то ƒ(-x)= -ƒ(x) и, следовательно,

_a

∫ ƒ(x)dx=0

^-a

Заметим, что произведение двух четных или двух нечетных функций – четная функция, а произведение четной функции на нечетную – нечетная функция.

Пусть теперь ƒ(x) – четная периодическая функция с периодом 2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда, используя только что полученное свойство интегралов, получим:

_{π π}

a_n=1/π∫ ƒ(x)cos(nx)dx=2/π∫ ƒ(x)cos(nx)dx (n=0,1,2…),

^{-π 0}

_π

b_n=1/π∫ ƒ(x)sin(nx)dx=0 (=1,2…),

^-π

Таким образом, ряд Фурье для четной функции содержит только четные функции – косинусы и записывается так:

_∞

ƒ(x)= a₀ /2 + Σ a_n cos(nx)

ⁿ⁼¹

при этом

_π

a_n=2/π∫ ƒ(x)cos(nx)dx (n=0,1,2…),

⁰

Рассуждая аналогично, получаем, что если ƒ(x) – нечетная периодическая (Т=2π) функция, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то

_π

a_n=1/π∫ ƒ(x)cos(nx)dx=0 (n=0,1,2…),

_π ^-π _π

b_n=1/π∫ ƒ(x)sin(nx)dx=2/π∫ ƒ(x)sin(nx)dx (=1,2…),

^{-π 0}

Следовательно, ряд Фурье для нечетной функции содержит только нечетные функции – синусы и записывается следующим образом:

_∞

ƒ(x)= Σ b_n sin(nx)

при этом ⁿ⁼¹

_π

b_n=2/π∫ ƒ(x)sin(nx)dx (n=1,2…),

⁰

Заметим, что если функция ƒ(x) задана на отрезке [0, π] [интервале (0, π)] и удовлетворяет в рассматриваемом промежутке условиям разложимости в ряд Фурье, то в этом промежутке ее можно бесчисленным множеством способов разложить в ряд Фурье. В частности, функцию ƒ(x) можно разложить в ряд по косинусам или по синусам, для этого нужно продолжить функцию ƒ(x) с заданного промежутка соответственно на промежуток (-π, 0) (промежуток (-π, 0)) соответственно четным или нечетным образом, исходя из условия

ƒ(-x) = ƒ(x) или ƒ(-x)=- ƒ(x)