Интеграл Фурье.

Пусть функция ƒ(x) на каждом отрезке [-l, l] (l – любое число) кусочно-гладкая или кусочно-монотонная, и, кроме того, ƒ(x) – абсолютно интегрируемая функция на всей

_∞

числовой оси, т.е. несобственный интеграл ∫ |ƒ(x)|dx сходится. При этих условиях

^-∞

функцию ƒ(x) на каждом интервале (-l, l) можно разложить в ряд Фурье:

_∞

ƒ(x)= a₀ /2 + Σ (a_n cos(nπx/l) + b_n sin(nπx/l)), |x|<l (1)

ⁿ⁼¹

[в точках х разрыва функции ƒ(x) сумма ряда равна ^{ƒ(х - 0) + ƒ(х + 0)}], коэффициенты ко-

²

торого определяются равенствами:

_l

a_n=1/l∫ ƒ(t)cos(nπt/l)dt, n=0,1,2…

^-l _l

b_n=1/l∫ ƒ(t)sin(nπt/l)dt, n=1,2…

^-l

Примечание. Для того, чтобы отличать х от переменной интегрирования, последнюю обозначали через t.

Выясним, как изменится правая часть равенства (1), если перейти к пределу при l→+∞. Для этого сначала преобразуем ряд, записанный в правой части равенства (1). Подставляя в него вместо а_n и b_n их выражения через интегралы, получаем:

_{l ∞ l l}

ƒ(x)=1/2l ∫ ƒ(t)dt + 1/l Σ [∫ƒ(t)cos(nπt/l)dt* cos(nπx/l) + ∫ ƒ(t)sin(nπt/l)dt* sin(nπx/l)]

^{-l n=1 -l -l}

или, что то же,

_{l ∞ l}

ƒ(x)=1/2l ∫ ƒ(t)dt + 1/l Σ ∫ƒ(t)cos(nπ(t-x)/l)dt (2)

^{-l n=1 -l}

Равенство (2) имеет место для всех х, удовлетворяющих условию |x|<l, где l – любое фиксированное число. Пусть теперь х – любая фиксированная точка, тогда, рассматривая в равенстве (2) различные значения l, l>|x|, перейдем в нем к пределу при l→+∞.

_l

Прежде всего замечаем, что при l →+∞ lim 1/2l ∫ ƒ(t)dt=0

_∞ ^{l→+∞ -l}

Действительно, так как интеграл ∫ |ƒ(t)|dt сходится, то его частные интегралы

^-∞

ограничены, в частности, ограничены и интегралы, взятые по промежуткам,

_l

симметричным относительно точки х=0, т.е. существует такое число М>0, что ∫ |ƒ(t)|dt ≤М при любом l. Так как _{l l} ^-l

|∫ ƒ(t)dt|≤∫ |ƒ(t)|dt

то, значит, ^-l _l ^-l

|∫ ƒ(t)dt| ≤ M

_l ^-l _l

и lim 1/2l |∫ ƒ(t)dt|=0 или, что то же, lim ∫ ƒ(t)dt =0

^{l→+∞ -l l→+∞ -l}

Таким образом, переходя в равенстве (2) к пределу при l →+∞, получаем:

_{∞ l}

ƒ(x)=lim 1/l Σ ∫ƒ(t)cos(nπ(t-x)/l)dt (3)

^{n→+∞ n=1 -l}

Пусть nπ/l=u_n (последовательность {u_n} изображена на рис.3), тогда ∆u_n= u_n+1- u_n =π/l и, следовательно, 1/l=∆u_n /l. При l →+∞, ∆u_n →0 и равенство (3) можно записать в виде:

_{∞ l}

ƒ(x)=1/π lim Σ ∆u_n ∫ƒ(t)cos(u(t – x))dt (4)

^{n→+∞ n=1 -l}

Интегралы, входящие под знак суммы, являются значениями функции

_l

Ф(u, x) = ∫ ƒ(t)cos u(t-x)dt

^-l

В точках последовательности {u_n} при фиксированном х. Вследствие этого сумма в правой части равенства (4) внешне, в какой-то степени, напоминает интегральную сумму по переменной u, составленную для промежутка 0≤u<+∞. Можно доказать, что предел суммы, записанной в правой части равенства (4), равен интегралу

_{+∞ +∞}

∫ du ∫ ƒ(t)cos (u(t – x))dt

0. ^-∞

Тогда в любой точке непрерывности функции ƒ(x) будет выполняться равенство:

_{+∞ +∞}

ƒ(x) =1/π ∫ du ∫ ƒ(t)cos (u(t – x))dt (5)

^{0 -∞}

(в точке х разрыва функции ƒ(x) в левой части равенства получится ^{ƒ(х - 0) + ƒ(х + 0)})

²

Преобразуем теперь правую часть равенства (5), используя формулу для косинуса разности: _{+∞ +∞ +∞}

ƒ(x) = ∫ du[1/π ∫ ƒ(t)cos (ut)dt*cos(ux) + 1/π ∫ ƒ(t)sin (ut)dt*sin(ux)]

или, иначе, ^{0 -∞} _+∞ ^-∞

ƒ(x) = ∫ [a(u)cos (ux) + b(u)sin (ux)]du (6)

Где ⁰ _+∞

a(u)=1/π ∫ ƒ(t)cos (ut)dt

^-∞_+∞ (7)

b(u)=1/π ∫ ƒ(t)sin (ut)dt

^-∞

Пусть ƒ(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном отрезке.

Интегралом Фурье этой функции называется интеграл

_+∞

∫ [a(u)cos (ux) + b(u)sin (ux)]du

⁰

где а(u) и b(u) определяются равенствами (7), при этом записывают:

_+∞

ƒ(x)~ ∫ [a(u)cos (ux) + b(u)sin (ux)]du

⁰

Если в каждой точке непрерывности функции ƒ(x) интеграл Фурье этой функции равен значению функции ƒ(x), то знак соответствия ~ заменяется знаком равенства и говорят, что функция ƒ(x) предтавляется интегралом Фурье.

Двойным интегралом Фурье, абсолютно интегрируемой на промежутке (-∞, +∞) функции ƒ(x), непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном отрезке, называется интеграл

_{+∞ +∞}

1/π ∫ du ∫ ƒ(t)cos (u(t – x))dt

^{0 -∞}

Из приведенных рассуждений вытекает следующая теорема: если ƒ(x) – абсолютно интегрируемая на промежутке (-∞, +∞) функция, кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на каждом отрезке [-l, l], то для этой функции справедливы равенства (5), (6) или, что то же, в этом случае функция ƒ(x) представима соответственно интегралом Фурье и двойным интегралом Фурье.