Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье.

Прежде всего, напомним, что точку х₀ разрыва функции ƒ(x) называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы справа и слева функции ƒ(x) в точке х₀.

lim ƒ(x) = ƒ(х₀ + 0) ─ предел справа.

^{х → х}₀ ^{+ 0}

lim ƒ(x) = ƒ(х₀ - 0) ─ предел слева.

^{х → х}₀ ^{- 0}

Теорема 1 (Дирихле). Если функция ƒ(x) имеет период 2π и на отрезке [-π, π] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [-π, π] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них ƒ(x) монотонна, то ряд Фурье функции ƒ(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции ƒ(x) его сумма равна ƒ(x), а в точках разрыва функции ƒ(x) его сумма ^{ƒ(х - 0) + ƒ(х + 0)}, т. е. среднему арифметическому предельных значений слева и

²

справа. При этом ряд Фурье функции ƒ(x) сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции ƒ(x).

Функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле (кроме, быть может, условия периодичности), называется кусочно-монотонной на отрезке [-π, π].

Теорема 2. Если функция ƒ(x) имеет период 2π, кроме того, ƒ(x) и ее производная ƒ´(x) ─ непрерывные функции на отрезке [-π, π] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции ƒ(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции ƒ(x) его сумма равна ƒ(x), а в точках разрыва функции ƒ(x) она равна ^{ƒ(х - 0) + ƒ(х + 0)}. При этом ряд Фурье функции ƒ(x) сходится равно-

²

мерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции ƒ(x).

Функция ƒ(x),удовлетворяющая условиям этой теоремы, кроме, быть может, условия периодичности, называется кусочно-гладкой на отрезке [-π, π].

Следует иметь в виду, что существуют и другие достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье, но для решения практических задач пользуются приведенными здесь признаками. Заметим, что сформулированные признаки между собой, вообще говоря, не сравнимы, так как существуют функции, удовлетворяющие теореме 1 и не удовлетворяющие теоремы 2, и наоборот.

Рассмотрим теперь вопрос о разложении в ряд Фурье непериодической функции, заданной на отрезке (интервале) длины 2π или меньшей, чем 2π.

Пусть функция ƒ(x) задана на отрезке [а, а+2π] и является кусочно-гладкой или кусочно-монотонной на этом отрезке и, кроме того, ƒ(а) = ƒ(а+2π). Периодически продолжаем эту функцию на всю числовую ось, т. е. подчиняем ее условию ƒ(x+π)= ƒ(x) для любого х. Тогда полученную периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье, который будет сходиться к заданной функции ƒ(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [а, а+2π].

Пусть теперь функция ƒ(x), заданная на интервале (а, а+2π), удовлетворяет следующему условию: существует на отрезке [а, а+2π] кусочно-гладкая или кусочно-монотонная функция, совпадающая с ƒ(x) на интервале (а, а+2π). При этом условии функция, которая является периодическим продолжением функции ƒ(x), разлагается в ряд Фурье, сходящийся к ƒ(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей интервалу (а, а+2π).

Таким образом, задача разложения в ряд Фурье функции, заданной на отрезке (интервале) длины 2π, фактически ничем не отличается от задачи разложения в ряд Фурье периодической функции.

Если такая же задача решается по отношению к функции ƒ(x), заданной на отрезке [а, а+λ] [интервале (а, а+λ)], длина которого λ<2π, то она приводится к предшествующей задаче, если только продолжить функцию ƒ(x) на интервал (а+λ, а+2π) произвольным образом, но так, чтобы условия разложимости функции в ряд Фурье сохранялись и, кроме того, чтобы ƒ(а+2π) ─ ƒ(а). (В случае функции, заданной на интервале, естественно, последнее условие отпадает). Тогда полученная таким образом функция разлагается в ряд Фурье на отрезке [а, а+λ] [интервале (а, а+λ)], так как сумма этого ряда на отрезке [а, а+λ] [интервале (а, а+λ)] равна заданной функции ƒ(x) в каждой ее точке непрерывности.

Следует иметь в виду, что при λ<2π продолжение заданной функции ƒ(x) на отрезок (интервал) длиной 2π возможно бесчисленным множеством способов, поэтому заданная функция в области ее определения бесчисленным множеством способов может быть разложена в ряд Фурье. Ясно, что суммы этих рядов будут различными функциями на отрезке [а, а+2π], но они будут совпадать с заданной функцией ƒ(x) на отрезке [а, а+λ] [интервале (а, а+λ)], кроме, возможно, конечного числа точек разрыва ƒ(x).