Тригонометрический ряд. Ряд Фурье.

Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

a₀ /2 + (a₁*cos x+ b₁*sin x) + (a₂*cos x + b₂*sin x)+..+(a_n*cos x + b_n*sin x)+..

или, короче, _∞

a₀ /2 + Σ (a_n*cos x + b_n*sin x)

ⁿ⁼¹

где а_0, а_1, b_1, a_2,b_2, …_, a_n, b_n …− действительные числа, называемые коэффициентами ряда. Каждое слагаемое а_n *cos x + b_n *sin x (n=1,2, …) является периодической функцией периода 2π (так как a₀ /2 – имеет любой период, а период а_n*cos x + b_n *sin x равен 2π/n, а значит, и 2π). Каждое слагаемое а_n *cos x + b_n *sin x (n=1,2, …) является аналитическим выражением простого гармонического колебания Аsin(nx+a), где Аsin nа = а_n, Аcos nа = b_n, А− амплитуда, а − начальная фаза. Учитывая сказанное, получаем: если тригонометрический ряд сходится на отрезке длины периода 2π, то он сходится на всей числовой оси, и его сумма ƒ(x) является периодической функцией периода 2π. А также получаем, что в этом случае периодическая функция ƒ(x) записана в виде суммы бесконечного ряда простых гармоник или, что то же, разложена в ряд простых гармоник.

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-π, π] (следовательно, и на любом отрезке) и его сумма равна ƒ(x). Ставится задача: определите коэффициенты этого ряда.

Для решения поставленной задачи воспользуемся следующими равенствами:

_π 0, m≠n m=0,1,2..

∫ cos(mx)*cos(nx)dx={

^-π π, m=n n=0,1,2..

_π 0, m≠n

∫ sin(mx)*sin(nx)dx={

^-π π, m=n n=0,1,2..

_π

∫ cos(mx)*sin(nx)dx=0, m=0,1,2…, n=1,2..

^-π

Таким образом, все интегралы приводятся к интегралам вида:

_{π π}

∫ сos(kx)dx и ∫ sin(kx)dx, где k = 0,1,2,3,….,

^{-π - π}

_π

_π x| _-π =2π при k=0

∫ сos(kx)dx={

^-π (sin(kx))/k| ^π =0 при k≠0

^-π

_π 0 при k=0

∫ sin(kx)dx={

^-π (-cos(kx))/k| ^π =0 при k≠0

^-π

А также воспользуемся следующими свойствами:

1) Как известно, сумма равномерно сходящегося на некотором отрезке [a, b] ряда непрерывных функций является непрерывной функцией на этом отрезке. Учитывая это, получим, что сумма равномерно сходящегося на отрезке [-π, π] тригонометрического ряда − непрерывная функция на всей числовой оси.

_∞

2) Равномерная сходимость ряда Σ u_n (x) на отрезке [a, b] не нарушится, если все члены

ⁿ⁼¹

ряда умножить на функцию φ(х), непрерывную на этом отрезке.

По условию φ(х) ─ непрерывная функция на отрезке [a, b], следовательно, она ограничена на этом отрезке, т. е. существует такое число M>0, что для всех х отрезка [a, b] выполняется неравенство |(x)|≤ M.

_∞

Далее, применяя к ряду Σ u_n (x) критерий Коши равномерной сходимости, получим:

ⁿ⁼¹

для любого числа ε>0 найдется такой номер- N = N(ε), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

| u_n+1 (x)+ u_n+2 (x) +…+ u_n+p (x) |<ε/М

Выполняется для всех х отрезка [a, b].

_∞

Тогда для ряда Σ φ(х)u_n (x), полученного из данного умножением на функцию φ(х), не-

ⁿ⁼¹

прерывную на отрезке [a, b], имеет место неравенство | φ(х) u_n+1 (x)+ φ(х)u_n+2 (x) +…+ φ(х) u_n+p (x) |<ε, справедливое для всех х отрезка [a, b] при n>N и любом целом р>0. А следовательно, по критерию Коши ряд

_∞

Σ φ(х)u_n (x), равномерно сходится на отрезке [a, b], что и требовалось доказать.

ⁿ⁼¹

В частности, равномерная сходимость на отрезке [-π, π] данного тригонометрического ряда не нарушится, если ряд умножить на cos nx или sin nx.

Теперь перейдем к решению поставленной задачи. По условию

ƒ(x)= a₀ /2 + (a₁*cos(x)+ b₁*sin(x)) + (a₂*cos(x) + b₂*sin(x))+..+(a_n*cos(x) + b_n*sin(x)) +… (2)

При этом ряд равномерно сходится на отрезке [-π, π]. Так как ƒ(x) ─ непрерывная

_π

функция на отрезке [-π, π], то интеграл ∫ ƒ(x)dx существует.

^-π

В результате почленного интегрирования равномерно сходящегося ряда (2) получаем:

_{π π π π π π}

∫ ƒ(x)dx= a₀ /2 ∫ dx + (a₁∫ cos(x)dx + b₁∫ sin(x)dx) + (a₂∫cos(2x)dx + b₂∫ sin(2x)dx) +

^{-π -π -π -π -π -π}

_{π π}

+…+ (a_n∫ cos(nx)dx + b_n∫ sin(nx)dx)+…= π a₀

^{-π -π}

Откуда

_π

a₀=1/π∫ ƒ(x)dx

^-π

Умножая равенство (2) на cos nx и интегрируя его в пределах от –π до π, получаем:

_{π π π π π} ∫ ƒ(x)dx= a₀ /2 ∫ cos(nx)dx + (a₁∫ cos(x)*cos(nx)dx + b₁∫ sin(x)*cos(nx)dx) + (a₂∫cos(2x)*cos

^{-π -π -π -π -π}

_{π π π}

(nx)dx + b₂∫ sin (2x)*cos(nx)dx) +…+ (a_n∫ cos ²(nx)dx + b_n∫ sin(nx)*cos(nx)dx)+…= π a₀

^{-π -π -π}

тогда _π

a_n=1/π∫ ƒ(x)cos(nx)dx (n=1,2,…).

^-π

Аналогично, умножая равенство (2) на sin(nx) и интегрируя его в пределах от –π до π, имеем:

_π

∫ ƒ(x)dx=πb_n

^-π

Следовательно,

_π

b_n=1/π∫ ƒ(x)sin(nx)dx (n=1,2,…).

^-π

Таким образом, получены следующие выражения для коэффициентов ряда:

_π

a₀=1/π∫ ƒ(x)dx

^-π

_π

a_n=1/π∫ ƒ(x)cos(nx)dx (n=1,2,…).

^-π

_π

b_n=1/π∫ ƒ(x)sin(nx)dx (n=1,2,…).

^-π

Или, объединяя первые два равенства, запишем:

_π

a_n=1/π∫ ƒ(x)cos(nx)dx (n=1,2,…).

^-π

} (3)

_π

b_n=1/π∫ ƒ(x)sin(nx)dx (n=1,2,…).

^-π

Заметим, что в равенствах (3) пределы интегрирования можно взять от 0 до 2π (на основании свойства периодических функций) или от π до а + 2π, где а ─ произвольное число.

Пусть ƒ(x) ─ любая периодическая функция периода 2π, непрерывная на отрезке [-π, π] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода.

Тогда для функции ƒ(x) коэффициенты, определяемые равенствами (3), существуют и называются коэффициентами Фурье этой функции.

Рядом Фурье такой функции ƒ(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются равенствами (3). Из приведенных выше рассуждений непосредственно получаем: во-первых, если ƒ(x) является суммой равномерно сходящегося на отрезке [-π, π] тригонометрического ряда, то этот ряд является рядом Фурье функции ƒ(x); во-вторых, не существует двух тригонометрических рядов, равномерно сходящихся на отрезке [-π, π] к одной и той же функции [см. равенства (3)]. Или, что то же, если функция ƒ(x) разложена в равномерно сходящийся на отрезке [-π, π] тригонометрический ряд, то такое разложение единственное.

Пусть ƒ(x) ─ любая периодическая функция периода 2π, непрерывная на отрезке [-π, π] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода. Для такой функции ƒ(x) можно записать соответствующий ей ряд Фурье:

_∞

ƒ(x) ~ a₀ /2 + Σ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx)),

ⁿ⁼¹

коэффициенты которого определяется из равенств (3). Однако, как и в случае степенных рядов, нельзя утверждать, что ряд Фурье функции ƒ(x) сходится к этой функции.

Этот ряд может для некоторых значений х оказаться расходящимся, но если даже он и сходится, то это еще не означает, что его сумма равна ƒ(x). Если ряд Фурье функции ƒ(x) сходится к ней во всех точках непрерывности, то знак соответствия ─ заменяется знаком равенства, и в этом случае говорят, что функция ƒ(x) разлагается в ряд Фурье.

Можно доказать, что при некоторых условиях, налагаемых на функцию ƒ(x), она разлагается в ряд Фурье. Опуская доказательства, сформулируем только некоторые достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье.