Оценка погрешности дискретной модели непрерывного процесса
При разностном решении ДУ в частных производных основным источником ошибок являются погрешности от замены производных конечными разностями. Эти погрешности называются погрешностями дискретизации. Таким образом, в теории разностных схем основной является проблема наилучшего приближения к ДУ с помощью разностных соотношений, или наилучшей аппроксимации дифференциальных операторов – разностными.
Погрешности дискретизации зависят от следующих факторов:
способа замены дифференциальных уравнений разностными;
от конфигурации элементов конструкции (формы рассматриваемой области);
внешних воздействий (граничных условий);
длительности рассчитываемого процесса.
Определим порядок погрешности дискретизации. Этот порядок целиком определяется способом замены дифференциальных операторов в задаче – разностными, то есть порядком аппроксимации. Порядок аппроксимации показывает, каким образом снижаются погрешности с уменьшением шага сетки. Если порядок аппроксимации – первый, то погрешности пропорциональны шагу, если – второй, то – квадрату шага и так далее.
Покажем как определить порядок аппроксимации на примере замены производных конечными разностями. Допустим, что мы хотим заменить первую производную в точке 0 (рисунок 2) и для этого наметим два узла сетки в точках
|
x=-a и x=h-a. Будем считать функцию F и ее производную в точке 0 известными. Воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, находим значения функции на концах отрезка при x=-a и x=h-a: |
Рис.2.3.1. |
-
F(–a) = F –
дF
a
+
д2F
a2
-
д3F
a2
+ …
дX
1!
дX2
2!
дX3
3!
-
F(h–a) = F +
дF
(h-a)
+
д2F
(h-a)2
+ …
дX
1!
дX2
2!
Далее определим значение конечной разности:
F(h–a) – F(–a) |
= |
дF |
+ |
д2F |
|
(h-2a) |
+ |
д3F |
|
h2 – 3ah +3a2 |
+ … |
h |
дX |
дX2 |
2! |
дX3 |
3! |
Погрешность от замены первой производной конечной разностью будет равна:
F(h–a) – F(–a) |
- |
дF |
= |
д2F |
|
(h-2a) |
+ |
д3F |
|
h2 – 3ah +3a2 |
+ … |
h |
дX |
дX2 |
2! |
дX3 |
3! |
При а=0 разность будет правой, при a=h - левой (9-б и 9-а соответственно). При этом погрешности соответственно составят:
- для правой разности:
-
{
д2F
h
} + {
д3F
h2
}
дX2
2!
дX3
3!
- для левой разности:
-
- {
д2F
h
} + {
д3F
h2
}
дX2
2!
дX3
3!
В том и в другом случае погрешность пропорциональна шагу сетки, то есть имеет место первый порядок аппроксимации производной конечной разностью. Условно это можно записать в виде:
Fm+1n- Fmn |
= |
дF |
+ O(h) и |
Fm,n- Fm-1,n |
= |
дF |
+ O(h) |
h |
дY |
h |
дY |
Для вторых разностей ошибка замены второй производной может быть определена аналогично. Используя разложение функции F в ряд Тейлора вблизи точки X = mh, можно показать, что здесь имеет место второй порядок аппроксимации.