- •Основные понятия и определения(ито, моделирование, физическая модель, математическая модель, входные и выходные переменные)
- •Классификация математических моделей.
- •6. По учету неизвестных факторов.
- •8. Модели технического проектирования рту.
- •Виды диффуров, описывающих процессы в конструкциях рэа
- •4. Основные требования, предъявляемые к математическим моделям ито.
- •Внешние и внутренние факторы ито
- •Краевая задача (определение и пример).
- •Численные методы решения и их сравнение.
- •Метод конечных разностей
- •Основные положения метода конечных разностей
- •Процедура построения разностной схемы
- •Оценка погрешности дискретной модели непрерывного процесса
- •Постановка задач расчета теплового процесса на дискретной модели
- •Метод конечных элементов
- •Основные положения метода конечных элементов
- •Этапы решения в мкэ.
- •17. Типы элементов, используемых в мкэ.
- •Одномерный симплекс-элемент.
- •Двумерный симплекс-элемент.
- •Трёхмерный симплекс-элемент.
- •Функции формы.
- •22. Интерполяционные полиномы для дискретизированной области
- •23. Матрица трансформации узла.
- •24. Решение краевых задач методом конечных элементов
- •25. Метод граничных элементов
- •26. Типы граничных элементов.
Трёхмерный симплекс-элемент.
Трехмерный симплекс – элемент показан на рисунке 9.5 – это тетраэдр, четыре узла которого обозначены индексами i, j, k, q, причем обход узлов i, j, k, q проведен, как и ранее, против часовой стрелки. Запишем интерполяционный полином для тетраэдра:
= 1 + 2 x + 3 y + 4 z (5.13)
Коэффициенты можно определить, используя следующие 4 условия в узлах:
Фi = 1 + 2 Xi + 3 Yi + 4 Zi Фj = 1 + 2 Xj + 3 Yj + 4 Zj |
(9.14) |
Фk = 1 + 2 Xk + 3 Yk+ 4 Zk Фq = 1 + 2 Xq + 3 Yq+ 4 Zq |
Эта система может быть решена с помощью правил Крамера и связана с вычислением 5-ти определителей. В матричной форме система имеет (9.14) вид:
{Ф} = [C] {} (9.15)
где:
{Ф}T = [Фi Фj Фk Фq]; {}T = [i j k q]; (9.16)
-
1
Xi
Yi
Zi
= [C]
(19.7)
1
Xj
Yj
Zj
1
Xk
Yk
Zk
1
Xq
Yq
Zq
Строка коэффициентов в (9.16) может быть получена обращением матрицы [C] [C]–1 с последующим умножением (9.15) на [C]–1.
{} = [C]–1 [ Ф ] (9.18)
Интерполяционный полином (9.13) в матричной форме имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
= 1 + 2 x + 3 y + 4 z = [ 1 x y z] |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
Поэтому с учетом (9.18) имеем:
= [ 1 x y z ] [C]–1 [ Ф ] (9.19)
Определитель матрицы [C] равен шести объемам тетраэдра.
Пример 9.4. Определить ФФ, используя процедуру обращения матрицы для симплекс – элемента на рисунке 9.5.
Решение. По значениям координат узлов составим матрицу [C] (слева) и соответствующую ей обратную матрицу [C] –1 :
1 |
1 |
2 |
1 |
=[C] |
|
=[C]-1 |
|
|
|
0 |
6 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
= |
1 |
|
0 |
-3 |
3 |
0 |
||
1 |
2 |
0 |
0 |
|
6 |
|
3 |
-1 |
-1 |
-1 |
|||
1 |
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
0 |
-1 |
-1 |
2 |
Для определения ФФ воспользуемся матричным представлением интерполяционного полинома (9.6), согласно которому = [N] {Ф}, откуда, учитывая выражение (9.19), имеем:
[N] = [ 1 x y z ] [C]–1
то есть:
|
|
|
0 |
6 |
0 |
0 |
[N] = |
1 |
[1 x y z] |
0 |
-3 |
3 |
0 |
6 |
3 |
-1 |
-1 |
-1 |
||
|
|
|
0 |
-1 |
-1 |
2 |
или:
[N] = |
[ |
y |
; |
1 |
(6 – 3x – y – z ); |
|
1 |
(6 – 3x – y – z ); |
|
1 |
(– y + 2z ) |
] |
2 |
6 |
6 |
6 |
Таким образом, ФФ рассматриваемого элемента имеют вид:
-
N1 =
y
; N2 =
1
(6 – 3x – y – z );
2
6
-
N3 =
1
(3x – y – z );
N4 =
1
(– y + 2z )
6
6