5. Этапы решения в мкэ.

Таким образом, получены основные расчетные соотношения, достаточные для числового решения текущей задачи, которое включает этапы:

1. Задаем начальные условия. Учитывая факт закрепления левого конца балки, имеем: Y(0)=0.

2. Упрощаем матрицы элементов. Учитывая, что площадь поперечного сечения консоли (S) постоянна, переходим от интегралов по объему к интегралам по длине консоли, для чего: обозначим – длину конечного элемента, и после замены в формулах (70 и 71): , запишем матрицы элементов в упрощенном виде:

(3.21)

Кривизна балки в (3.21) осталась под знаком интеграла, так как она зависит от в пределах -го конечного элемента и определяется интерполяционным полиномом:

. (3.22)

3. Вычисляем матрицы функций формы и матрицы градиентов. Поместив узел в начало координат, вычислим функции формы для первого элемента по формуле (3.8):

и .

Таким образом, матрица функций формы первого конечного элемента примет вид:

.

Аналогично вычисляем матрицы функций формы остальных конечных элементов:

, ,

.

Вычисляем матрицы градиентов всех конечных элементов по формулам (3.12): .

4. Вычисляем локальные матрицы жесткости. Учитывая, что элементы матриц градиентов не зависят от координаты x, локальная матрица жесткости для первого элемента примет вид:

.

Произведение матриц дает следующий результат:

Следовательно: и окончательно матрица жесткости 1-го конечного элемента примет вид:

Аналогично получаем матрицы жесткости для остальных конечных элементов:

Здесь в колонке справа стрелками указаны номера узлов конечно-элементной модели ТО, необходимые для правильного ассемблирования его глобальной матрицы жесткости, причем указанные номера строк совпадают с номерами столбцов соответствующей локальной матрицы. Так, отмеченному крестом элементу (–1) матрицы , соответствуют узлы 4 (по вертикали) и 3 (по горизонтали). Его вклад в глобальную матрицу жесткости (3.20) иллюстрируется в следующем пункте.

5. Вычисляем глобальную матрицу жесткости, которая ассемблируется по правилу прямой жесткости, которое гласит: элемент глобальной матрицы, расположенный на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме элементов всех локальных матриц, расположенных на пересечении строки и столбца, соответствующих узлам i и j. В нашем примере после сложения полученных локальных матриц результирующая глобальная матрица примет вид:

Здесь крестиком отмечен элемент (–1), о котором шла речь в предыдущем пункте.

6. Вычисляем локальные матрицы нагрузки. Учитывая формулы (3.21,3.22), имеем:

.

Подставляя сюда из пункта 3 выражения для функций формы: и и, вычисляя интегралы, получим:

.

Подставляя числовые значения и из таблицы 3:

[см],

окончательно получаем локальную матрицу нагрузки для первого конечного элемента:

Локальные матрицы нагрузки остальных конечных элементов примут вид:

7. Вычисляем глобальную матрицу нагрузки, складывая полученные локальные матрицы нагрузки по методу прямой жесткости:

8. Формируем решающую систему, по формуле (76):

Так как Y₁=0, то из первого уравнения имеем: Y₂ = –0,33345 [см].

Из второго уравнения: Аналогично далее: .

Сравнение полученных результатов с данными теоретического расчета и с данными, полученными в САПР AnSYS, приведено в табл.4. Расчеты совпадают с точностью до сотых долей миллиметра.

Таблица 4

Сравнение результатов расчета разными методами

Node	UY(AnSys)	МКЭ	Теория
1	0.0000	0.0000	0.0000
2	–0,33534E–2	–0,33345Е–2	–0,33350Е–2
3	–0,12456E–2	–0,12384Е–2	–0,12388Е–2
4	–0,25869E–2	–0.25719Е–2	–0.25729Е–2
5	–0,42157E–2	–0,41929Е–2	–0,41929Е–2
6	–0,59883E–2	–0,59550Е–2	–0,59559Е–2