18. Двумерный симплекс-элемент.

Двумерный симплекс – элемент показан на рисунке 9.3 – это треугольник с прямолинейными сторонами и тремя узлами, по одному в каждой вершине. Примем последовательную логическую нумерацию узлов элемента против часовой стрелки, начиная от произвольно выбранного i-го узла. Узловые значения скалярной величины  обозначим через Фi, Фj, Фk, а координатные пары трех узлов - через (Xi, Yi), (Xj, Yj), (Xk, Yk).

Рис. 5.3	Рис. 5.4

Интерполяционный полином в данном случае примет вид:

 = ₁ +₂ x +₃ y (5.7)

В узлах выполняются следующие условия:  = Фi при x = Xi и y = Yi

 = Фj при x = Xj и y = Yj  = Фk при x = Xk и y = Yk

Подстановка их в (9.7) приводят к системе трех уравнений:

Фi = 1 + 2 Xi + 3 Yi

Ф j = 1 + 2 Xj + 3 Yj (9.8)

Фk = 1 + 2 Xk + 3 Yk

Обозначим площадь симплекс – треугольника буквой А. Можно показать, что определитель системы (9.8) связан с А (рис. 5.4) соотношением:

[XjYk – XkYj + XiYj – XiYk + XkYi – XjYi] =2A

Решая систему (9.8) с учетом (9.8) и вводя обозначения:

Ai=(Xj Yk – Xk Yj); Bi=(Yj – Yk); Ci=(Xk – Xj),

Aj = (Xk Yi – Xi Yk), Bj = (Yk – Yi), Cj =(Xi – Xk), (9.9)

Ak =(Xi Yj – Xj Yi), Bk = (Yi – Yj), Ck = (Xj – Xi),

получим значения искомых коэффициентов:

1 = 0,5 А ^–1 [ Ai Фi + Aj Фj + Ak Фk ]

2 = 0,5 А ^–1 [ Bi Фi + Bj Фj + Bk Фk ]

3 = 0,5 А ^–1 [ Ci Фi + Cj Фj + Ck Фk ]

Подставляя значения 1, 2, 3 в (9.7) и преобразуя получаемые выражения к виду, подобному (9.6), получим выражение для скалярной величины :

 = Ni Фi + Nj Фj + Nk Фk (9.10)

где:

Ni =	Ai+Bix+Ciy	; Nj =	Aj+Bjx+Cjy	; Nk =	Ak+Bkx+Cky	(9.11)
	2A		2A		2A

Значение Ni в i-м узле составит: Ni = 0,5 А ^–1 [Ai + Bi x + Ci y] =

= 0,5 А ^–1 [Xj Yk – Xk Yj + (Yj – Yk) Xi + (Xk – Xj) Yi] =

= 0,5 А ^–1 [XjYk – XkYj + XiYj – XiYk + XkYi – XjYi] = 1

Непосредственной проверкой можно показать, что в остальных узлах Ni = 0.

Из (9.11) видно, что ФФ линейны по x и y, то есть, градиенты этой величины в направлениях Ox и Oy будут постоянны. Заметим, что:

	дN	= В	( = j, j, k)
	дx

поэтому градиент  в направлении оси Ох составит:

дФ	=	дNi	Фi +	дNi	Фj +	дNk	Фk =	BiФi + BjФj + BkФk	(9.12)
дx		дx		дx		дx

Поскольку, переменные В_ и величины Ф_ начальных условий (при  = i, j, k) фиксируются, как только задаются узловые координаты, то частная производная в (9.12) имеет постоянное значение. Отсюда следует важный вывод: постоянство градиента внутри каждого элемента означает, что необходимо применять очень малые по величине элементы, чтобы аппроксимировать быстро меняющую функцию .

Пример 9.2. Требуется получить соотношение, определяющее элемент, и вычислить значение давления в точке В с координатами (2; 1,5), если заданы начальные значения: Pi = 40 H/см², Pj = 34 H/см², Pk = 46 H/см².

Давление р внутри элемента определяется по формуле: р = Ni Рi + Nj Рj + Nk Рk

где ФФ Ni , Nj и Nk определяются по (9.11).

Подставляя значения координат узлов в обозначения (9.9) для А_, В_, С_ (при  = i, j, k), получим значения этих коэффициентов:

Ai = (45)–(21,5) = 19; Aj = (20) –(05) = 0; Ak =(00,5)–(40) = 0;

Bi = (0,5–5) = – 4,5 ; Bj = (5 – 0) = 5; Bk =(0 – 0,5) = – 0,5;

Ci = (2–4) = – 2 ; Cj = (0 – 2) = – 2; Ck =(4– 0) = 4;

Рис. 9.4	Рис. 9.5

Вычисляем определитель:

2A=	1	Xi	Yi	=	1	0	0
	1	Xj	Yj		1	4	0,5	=20-1=19
	1	Xk	Yk		1	2	5

После подстановки констант в ФФ выражение для р примет вид:

p =	[(19–4,5x–2y)Pi + (5x – 2y)Pj + (– 0,5x + 4y) Pk
	19

Значение давления в точке В с координатами (2; 1,5) равно:

p =	740 +734 +546	= 39,37 Н/см2
	19

Отметим два полезных свойства треугольного элемента. Во-первых, функция  изменяется линейно между двумя любыми узлами. Так как узлы определяют границы элемента,  меняется линейно вдоль каждой из трех его сторон. Отсюда следует второе полезное свойство: любая линия, вдоль которой  принимает одинаковые значения, есть прямая линия, пересекающая две стороны элемента. Исключением будет случай, когда во всех узлах значения  одинаковые. Приведенные два свойства позволяют легко определять линии уровня скалярной величины. Обратимся к предыдущему примеру, чтобы проиллюстрировать эти свойства.

Пример 9.3 (продолжение примера 9.2). Требуется определить линию уровня, соответствующую величине давления 42 Н/см², для примера 9.2.

Решение. Искомая линия пересекает стороны ik и kj. Поскольку давление меняется линейно вдоль каждой из сторон треугольника, можно составить простые соотношения, позволяющие получить координаты точек на указанных сторонах, через которые проходит искомая линия. Для стороны jk имеем:

(46 – 42)	=	(2 – x)	=	(2 – y)	 x = 2,67 см; y = 3,5 см
(46 – 34)		(2 – 4)		(5 – 0,5)

Аналогично вычислим координаты точки на стороне ik: x = 0,67 см, y = 1,67 см.