- •36. Хвилі
- •Загальні характеристики хвиль
- •Поздовжні та поперечні хвилі. Монохроматичні хвилі
- •Рівняння плоскої монохроматичної хвилі
- •Характеристики монохроматичної хвилі
- •Фаза хвилі. Фазова швидкість і хвильові поверхні
- •Рівняння сферичної та циліндричної хвиль
- •Різниця фаз та різниця ходу хвиль
- •Рівняння плоскої хвилі, що поширюється у довільному напрямі
- •Загасаючі хвилі
- •37. Хвильове рівняння
- •38. Енергія та інтенсивність механічної хвилі Механічні хвилі
- •Енергія та інтенсивність механічної хвилі
- •Швидкість механічних хвиль
- •39. Хвильові пакети. Групова швидкість
- •40. Стоячі хвилі
- •41. Хвильове рівняння для електромагнітної хвилі. Доведення поперечності електромагнітної хвилі. Електромагнітні хвилі
- •Загальні властивості електромагнітних хвиль
- •42. Вектор Пойнтінга та інтенсивність електромагнітної хвилі
- •Шкала електромагнітних випромінювань
41. Хвильове рівняння для електромагнітної хвилі. Доведення поперечності електромагнітної хвилі. Електромагнітні хвилі
З рівнянь Максвелла (19.8), (19.9), (19.10), (19.11) видно, що змінне електричне поле породжує змінне магнітне поле, а змінне магнітне поле породжує змінне електричне поле. Тому, бувши первісно створені зарядами або струмами, змінні електричне та магнітне поля можуть далі самовідтворюватися й існувати автономно, незалежно від зарядів і струмів. Більше того, із рівнянь Максвелла випливає, що цей процес не лишається локалізованим у місці виникнення, а поширюється в просторі з плином часу. Це означає, що змінне електромагнітне поле у вільному просторі існує у формі електромагнітних хвиль. Максвелл також показав, що швидкість поширення електромагнітних хвиль співпадає із швидкістю світла, чим теоретично встановив його електромагнітну природу. Тому електродинаміка є теоретичною базою оптики. З іншого боку, завдяки роботам Генріха Герца, який експериментально підтвердив існування електромагнітних хвиль і отримав хвилі радіочастотного діапазону, електромагнітні хвилі набули щонайширшого практичного застосування. Зокрема, вони є незамінним засобом передачі інформації у сучасних системах зв’язку.
Загальні властивості електромагнітних хвиль
Хвильові рівняння електромагнітного поля. Вектори електромагнітного поля Е і Н задовольняють окремим диференціальним рівнянням, які можна одержати з рівнянь Максвелла. Для діелектричного середовища за відсутності сторонніх зарядів і струмів вони мають вигляд:
|
|
(22.42) |
|
|
(22.43) |
де відповідно, електрична й магнітна сталі, діелектрична та магнітна проникності середовища. Рівняння (22.42) і (22.43) ідентичні до (22.14) і є хвильовими рівняннями. Загальні розв’язки цих рівнянь у випадку полів, які змінюються з часом, являють собою рівняння електричної Е(r, t) та магнітної Н(r, t) хвиль. Але нестаціонарні електричне та магнітне поля є органічно взаємопов’язаними, тому вказані рівняння не є незалежними і в сукупності складають рівняння єдиної електромагнітної хвилі. Теоретичне передбачення існування електромагнітних хвиль, яке стало одним із найбільших відкриттів Максвелла, пізніше експериментально підтверджено Герцом.
З хвильових рівнянь та безпосередньо з рівнянь Максвелла випливають такі загальні властивості електромагнітних хвиль.
Швидкість поширення електромагнітних хвиль. Порівняння (22.42), (22.43) із загальним рівнянням (22.14) показує, що швидкість електромагнітної хвилі в середовищі
|
|
(22.44) |
У вакуумі ( ) ця швидкість дорівнює
|
|
(22.45) |
Співпадіння швидкості електромагнітних хвиль у вакуумі зі швидкістю світла дозволило Максвеллу висловити думку про електромагнітну природу світла, вірогідність якої була доведена всім подальшим розвитком фізичної оптики.
Виходячи з (22.45), швидкість поширення електромагнітної хвилі у середовищі можна записати, як
|
|
(22.46) |
Реально електромагнітні хвилі можуть існувати тільки в діелектриках, які є немагнітними середовищами ( ), отже практично
|
|
(22.47) |
Поперечність електромагнітних хвиль. Коливання векторів Е та Н в електромагнітній хвилі відбуваються у напрямках, перпендикулярних до напрямку поширення хвилі, тобто, до напрямку хвильового вектора k (або вектора швидкості хвилі v). Отже, електромагнітні хвилі є поперечними. Електричне та магнітне поля хвилі теж є взаємно перпендикулярними й завжди напрямлені так, що вектори Е, Н, k утворюють праву трійку (рис. 22.9), тобто, при обертанні правого гвинта від першого вектора до другого він буде угвинчуватись у напрямку третього вектора[1]
|
Зв’язок між величиною полів. Не лише напрямки, а й миттєві значення модулів векторів електричного та магнітного поля в електромагнітній хвилі жорстко пов’язані між собою співвідношенням
|
|
(22.48) |
Якщо хвиля поширюється за відсутності в просторі будь-яких перепон, дане співвідношення виконується й для проекцій векторів на осі, вздовж яких відбуваються їх коливання. Це означає, що коливання електричного та магнітного полів у вільній електромагнітній хвилі є синфазними. Тому плоска монохроматична електромагнітна хвиля описується загальними рівняннями
|
. |
(22.49) |
Якщо хвиля поширюється вздовж однієї з координатних осей, наприклад, OY, розподіл полів уздовж напрямку поширення виглядає, як показано на рис. 22.10.
|
Доведення властивостей електромагнітних хвиль[2]. Запишемо систему рівнянь Максвелла (19.14), (19.15) для безмежного однорідного ізотропного діелектричного середовища, в якому відсутні сторонні заряди ( ) і струми ( ), де і :
|
|
(22.50а) |
|
|
(22.50б) |
|
|
(22.50в) |
|
|
(22.50г) |
Аби отримати диференціальні рівняння для кожного з полів окремо, треба в правих частинах (22.50б,г) позбавитися “чужих” полів − Н або Е, відповідно. Це можна зробити, взявши ротор від одного з рівнянь, наприклад (22.50б), і зробивши потрібну підстановку з (22.50г). Справді,
|
.
|
(22.51) |
Тут ураховано, що координати й час є незалежними змінними, і диференціювання по них можна проводити в будь-якій послідовності. Тепер візьмемо до уваги, що ротор ротора можна розглядати як символічний подвійний векторний добуток і скористаємося відомою тотожністю
|
|
|
Тоді, врахувавши, що, згідно з (22.50а), , отримаємо:
|
. |
|
Нарешті, підставивши в (22.51), отриманий вираз подвійного ротора Е, а також вираз ротора Н із (22.50г), отримуємо хвильове рівняння (22.42). Такі самі перетворення в (22.50г) приводять до хвильового рівняння (22.43).
Доведемо, що електромагнітна хвиля є поперечною. Для цього визначимо дивергенцію поля Е
|
|
|
у плоскій монохроматичній хвилі. Із (22.49) для проекції електричного вектора на вісь ОХ маємо:
|
|
|
Аналогічно визначаються й дві інші проекції дві інші проекції, тому
|
|
|
або згорнуто
|
|
|
Звідси, відповідно до (22.50а), маємо
|
|
|
Отже, вектор Е є перпендикулярним до хвильового вектора, тобто, до напрямку поширення хвилі. Так само доводиться аналогічне співвідношення для магнітного вектора.
Визначимо тепер взаємну орієнтацію векторів Е і Н у хвилі, скориставшись рівнянням (22.50б). Нехай хвиля (22.49) поширюється у напрямку осі OY і коливання електричного поля відбуваються вздовж осі ОZ, отже k =еyk і Е = еzЕz. У такому разі
|
|
|
Оскільки величина Е залежить тільки від координати y, то , і
|
|
(22.52) |
Визначимо тепер праву частину в рівнянні (22.50б). Про напрям магнітного вектора нам нічого невідомо, крім того, що він перпендикулярний до осі OY. Тому подамо його у вигляді . Відтак похідна по часу записується як
|
|
|
Підставивиши цей вираз та вираз (22.52) у рівняння (22.50б), формально дістанемо:
|
|
(22.53) |
Але ця рівність є можливою тільки за умови , звідки випливає, що Нz = 0 і Н = ехНх. Оскільки при цьому Е = еzЕz і k =еyk, доходимо висновку, що вектори Е і Н у хвилі є взаємно перпендикулярними й утворюють із вектором k праву трійку, як показано на рис. 22.9.
Знайдемо тепер співвідношення між величиною полів у хвилі. Для хвилі з розглянутими напрямками векторів із (22.49) . Підставивши цей вираз у (22.53), урахувавши, що Нz = 0, отримаємо:
|
= |
|
Звідси для коливань магнітного поля в якійсь фіксованій точці y = y0 маємо:
|
|
|
Інтегрування цього рівняння дає:
|
|
|
Отримане співвідношення виконується при будь-яких значеннях y0, отже коливання полів у монохроматичній хвилі є синфазними, як це відображено в рівняннях (22.49). При цьому
|
|
|
де враховано, що − фазова швидкість хвилі. Звідси після підстановки виразу (22.44) дістанемо:
|
|
|
[1] Це правило зберігається й при циклічній зміні послідовності векторів: Н, k, Е та k, Е, Н.
[2] Цей пункт є не обов’язковим для детального вивчення.