Фаза хвилі. Фазова швидкість і хвильові поверхні

Як і для коливань, аргумент гармонічної функції в рівнянні хвилі називається фазою. Фаза хвилі є функцією координати та часу і визначається одним із виразів (22.2), наприклад

(22.6)

З цього рівняння видно, що координата х точок хвилі, в яких фаза має постійне значення , змінюється з часом, тобто вони рухаються з певною швидкістю. Швидкість руху точок із заданою фазою називають фазовою швидкістю хвилі. Для визначення фазової швидкості v покладемо в (22.6)  = ₀ і виразимо х:

(22.7)

Порівнюючи цей вираз із (22.3), бачимо, що фазова швидкість − то і є швидкість поширення монохроматичної хвилі . Але термін “фазова” не є зайвим, оскільки швидкість поширення більш складних, ніж строго монохроматичні, хвиль у середовищі визначається іншою, так званою груповою швидкістю^[1].

Задане значення фази у даний момент часу має не одна, а ціла множина точок, які утворюють хвильову поверхню. Через кожну точку хвилі проходить відповідна хвильова поверхня, і всі вони рухаються із швидкістю (22.7). Отже можна сказати, що фазова швидкість − то є швидкість руху хвильових поверхонь.

Різні хвилі можуть мати різну, але завжди скінченну швидкість поширення. Тому реально завжди існує хвильова поверхня, що відокремлює простір, охоплений хвильовим процесом, від простору, куди хвиля ще не дійшла. Ця “найперша” хвильова поверхня називається фронтом хвилі.

У залежності від форми хвильових поверхонь, найпростіші хвилі поділяють на плоскі, сферичні та циліндричні. Зокрема, згідно з (22.6), координати точок, в яких фаза має задане значення  у заданий момент часу  t = t₀, визначаються рівнянням

яке є рівнянням площини, перпендикулярної до осі ОХ. Отже хвильові поверхні хвилі, що тут розглядається, є площинами. Тому хвиля (22.2) й називається плоскою. На рис. 22.2 штриховими лініями показано положення декількох хвильових поверхонь плоскої хвилі. Зауважимо, що вони є перпендикулярними до напрямку фазової швидкості. Це характерно й для інших хвиль − у будь-якій точці вектор фазової швидкості хвилі  , як і хвильовий вектор k, напрямлений по нормалі до хвильової поверхні. Тому хвильові поверхні певним чином відображають поширення хвилі. Але більш наочно поширення хвилі можна показати за допомогою променів. Променем називається лінія, по якій енергія переноситься від певної точки джерела до даної точки простору. Відтак плоску хвилю можна трактувати як множину паралельних променів.

 

^[1] Більше про це сказано далі в п.22.2.3.

Рівняння сферичної та циліндричної хвиль

Нескінченна плоска мембрана створює в усьому просторі хвилю з плоскими хвильовими поверхнями^[1]. Для джерела скінчених розмірів форма хвильових поверхонь залежить як від розмірів і форми джерела, так і від відстані до нього. Одначе на великих відстанях розміри та форма джерела стають несуттєвими і його можна розглядати як точкове. В однорідному ізотропному середовищі хвиля від такого джерела є сферичною, тобто хвильові поверхні являють собою сфери з центрами в джерелі, а промені − радіальні прямі, що виходять із джерела. Сферична хвиля поширюється від джерела по всіх напрямках, отже у виразі фази координату х  треба замінити на r − відстань від джерела в будь-якому напрямку:

Іншою відміною сферичної хвилі від плоскої є залежність амплітуди від відстані до джерела навіть в середовищі, в якому немає поглинання енергії хвилі. Це зумовлено тим, що енергія Р₀, випромінювана джерелом за одиницю часу, при віддаленні від нього розподіляється по поверхні сфери   все більшого радіуса, отже енергія, що припадає на одиницю площі, зменшується з відстанню, як . Позаяк енергія коливань прямо пропорційна квадрату амплітуди, остання зменшується з відстанню від джерела, як

(22.8)

де  а   стала, яка залежить від потужності джерела. Отже, рівняння сферичної хвилі має вигляд

(22.9)

Якщо джерело являє собою нескінченну тонку пряму лінію, то воно створює циліндричну хвилю, хвильові поверхні якої являють множину коаксіальних до джерела циліндричних поверхонь. Промені такої хвилі − радіальні прямі, що виходять із джерела перпендикулярно до його осі. Амплітуда циліндричної хвилі теж змінюється з відстанню від джерела, але повільніше, ніж у сферичній, − як . Тому рівняння циліндричної хвилі має вигляд

(22.9а)

^[1] Зрозуміло, що це є абстракцією. Але плоску хвилю можна реально отримати в обмеженому просторі, в той чи інший спосіб утворивши паралельний пучок променів. Наприклад, в оптиці це роблять за допомогою лінз або дзеркал.