- •36. Хвилі
- •Загальні характеристики хвиль
- •Поздовжні та поперечні хвилі. Монохроматичні хвилі
- •Рівняння плоскої монохроматичної хвилі
- •Характеристики монохроматичної хвилі
- •Фаза хвилі. Фазова швидкість і хвильові поверхні
- •Рівняння сферичної та циліндричної хвиль
- •Різниця фаз та різниця ходу хвиль
- •Рівняння плоскої хвилі, що поширюється у довільному напрямі
- •Загасаючі хвилі
- •37. Хвильове рівняння
- •38. Енергія та інтенсивність механічної хвилі Механічні хвилі
- •Енергія та інтенсивність механічної хвилі
- •Швидкість механічних хвиль
- •39. Хвильові пакети. Групова швидкість
- •40. Стоячі хвилі
- •41. Хвильове рівняння для електромагнітної хвилі. Доведення поперечності електромагнітної хвилі. Електромагнітні хвилі
- •Загальні властивості електромагнітних хвиль
- •42. Вектор Пойнтінга та інтенсивність електромагнітної хвилі
- •Шкала електромагнітних випромінювань
Швидкість механічних хвиль
У випадку механічних хвиль функція в рівняннях хвилі (22.2), або (22.9) чи (22.9а) визначає зміщення частинок середовища з положення рівноваги. При цьому швидкість та прискорення коливального руху частинок середовища визначаються похідними від як . Для плоскої монохроматичної хвилі (22.2)
|
|
(22.15) |
|
|
(22.16) |
Отже, рух частинок середовища визначається тільки джерелом хвилі, бо тільки воно задає частоту .
На відміну від цього, швидкість поширення хвилі залежить від властивостей середовища та типу хвилі. А саме. У твердому тілі фазова швидкість поздовжніх хвиль визначається формулою
|
|
(22.17) |
де густина речовини, Е модуль Юнга, який визначає пружні властивості тіла при деформаціях стискання та розтягу.
Швидкість поширення поперечних хвиль
|
|
(22.18) |
де G модуль зсуву, який визначає пружні властивості тіла при деформаціях зсуву.
Рідинам і газам властива об'ємна пружність, тобто здатність чинити опір зміні об'єму. Через це зміна об'єму V на величину dV спричинює зміну тиску в середовищі на dP = kdV/V, де k модуль об'ємної пружності, від якого, поряд із густиною , і залежить швидкість хвилі у газі чи рідині:
|
|
(22.19) |
При цьому в газах коефіцієнт об'ємної пружності залежить від термодинаміки процесу стискання (розширення) газу. При повільній зміні об'єму процес можна вважати ізотермічним, і , а швидка зміна об’єму відбувається адіабатно, і , де − показник адіабати (див. розділ 2).
39. Хвильові пакети. Групова швидкість
Якщо в середовищі одночасно поширюється п різних механічних хвиль, то результуючі зміщення , швидкість v та прискорення а частинок середовища в будь-який момент часу t дорівнюють:
|
|
(22.26) |
тут зміщення, швидкість і прискорення, які мали б частинки в той самий момент часу t, якби в середовищі поширювалася тільки одна і -та хвиля. (Анімація 1 та анімація 2 показують реалізацію принципу суперпозиції для хвиль, що поширюються в одному та протилежних напрямках відповідно). Рівняння (22.26) виражають принцип суперпозиції хвиль[1]. Важливість цього принципу зумовлена тим, що, як доводиться в математиці, будь-яку складну несинусоїдальну хвилю можна розглядати як суперпозицію певної кількості монохроматичних хвиль із відповідними амплітудами, частотами та довжинами хвилі.
Особливий інтерес являє суперпозиція монохроматичних хвиль, частоти й хвильові числа (довжини хвиль) яких лежать у вузькому інтервалі та в околі певних значень та ( і ). Таке утворення називається групою хвиль або хвильовим пакетом. Прообразом групи хвиль є суперпозиція двох монохроматичних хвиль, що поширюються в одному напрямку ОХ і мають однакові амплітуди та близькі частоти і хвильові числа . За принципом суперпозиції для результуючої хвилі маємо:
|
|
(22.27) |
Через малість величин та амплітуда цієї функції
|
|
(22.28) |
повільно змінюється із зміною x і t. Тому у фіксований момент часу в просторі існує послідовність згустків коливань (пакетів), як показано на рис.22.5.
|
Розглянемо, чим визначаються розміри пакетів та їх тривалість , тобто проміжок часу, протягом якого один пакет проходить повз задану точку. Це не важко зробити. На відстані функція амплітуди (22.28) змінюється від 0 до і знов до 0, отже аргумент змінюється на при незмінному значенні t. Тому
|
|
(22.29а) |
Аналогічно змінюється амплітуда й за час проходження пакета повз фіксовану точку, то ж
|
|
(22.29б) |
При накладанні тільки двох монохроматичних хвиль із близькими спектральними параметрами і (або ) виникає нескінченна послідовність хвильових пакетів. Але при накладанні нескінченної кількості елементарних монохроматичних хвиль із частотами та хвильовими числами, які неперервно заповнюють відповідні вузькі інтервали і , як свідчить розрахунок, утворюється практично один пакет. Його форма залежить від розподілу амплітуд складових монохроматичних хвиль і при однакових амплітудах має вигляд рис. 22. 6 та анімації 3. При цьому для центральної частини зберігаються співвідношення (22.29а) і (22.29б). Але через математичну невизначеність розмірів, для всього пакета вони виконуються наближено як нерівності
|
|
(22.30) |
|
|
|
Ці співвідношення виражають універсальний зв’язок між спектральним складом і просторово-часовою локалізацією хвиль будь-якої природи. З них, зокрема, випливає, що реальні хвилі принципово не можуть бути строго монохроматичними. Справді, реальна хвиля завжди обмежена в просторі та часі − вона десь і колись починається, і десь і колись закінчується (загасає або поглинається тілами). Отже, реальна хвиля має скінченні значення і і через це характеризується не одним значенням хвильового числа та частоти, а нескінченною їх кількістю в інтервалі і . Відповідно, для істинно монохроматичної хвилі і , отже і . Інакше говорячи, монохроматична хвиля − то є абстрактний процес, який займає весь безмежний простір, і ніколи не починався та ніколи не закінчиться.
Визначимо тепер швидкість руху хвильового пакета (групи хвиль), яка називається груповою швидкістю u і дорівнює швидкості переміщення центра групи, тобто точки з максимальною амплітудою коливань. Для розглянутої групи з двох монохроматичних хвиль рух цієї точки, згідно з (22.28), задовольняє умові , отже
|
|
|
Таким чином, групова швидкість . Але для реальної групи, що складається з безлічі монохроматичних хвиль із гранично близькими частотами та хвильовими числами, вираз групової швидкості дещо інший:
|
|
(22.31) |
Зазначимо, що позаяк інтенсивність хвилі прямо пропорційна квадратові амплітуди, групова швидкість визначає швидкість перенесення хвилею енергії. При цьому вона не співпадає з фазовою швидкістю, що на перший погляд може здатися дивним. Справді, монохроматична хвиля із заданою частотою ω, яка поширюється в заданому середовищі, має визначену фазову швидкість . Отже, оскільки , то , тобто ніякої різниці між груповою та фазовою швидкістю немає. Але пружність середовища і, через це, фазова швидкість хвилі (див. (22.7) залежить від частоти коливань частинок. Тому величини і (або ) знаходяться у складній функціональній залежності. Це явище називається дисперсією й суттєво впливає на поширення реальних хвиль і, зокрема, зумовлює відміну між груповою та фазовою швидкостями. Співвідношення між ними легко встановити, врахувавши, що і :
|
|
(22.32а) |
або, після заміни і ,
|
|
(22.32б) |
Отримані вирази (22.32а) і (22.32б) називаються співвідношеннями Релея.
[1] Строго говорячи, цей принцип виконується не завжди, а тільки для середовищ властивості яких не залежать від амплітуди хвилі. Такі середовища й, відповідно, хвилі в них, називаються лінійними. Далі розглядаються тільки лінійній хвилі.