Різниця фаз та різниця ходу хвиль

При розгляді різних хвильових явищ важливу роль відіграє різниця фаз    однієї хвилі у двох різних точках, або двох різних хвиль у заданій точці в один і той самий момент часу. Для однієї плоскої хвилі з виразу (22.6) маємо

(22.10)

  різниця відстаней від даних точок до джерела, або, інакше, − відстань між точками, відрахована вздовж променя. У випадку сферичної та циліндричної хвилі

(22.10а)

Ці ж формули стосуються й хвиль однакової частоти та довжини хвилі, що приходять у дану точку від двох джерел. При цьому різницю відстаней від джерел до даної точки    або    називають різницею ходу хвиль (або променів).

 

Рівняння плоскої хвилі, що поширюється у довільному напрямі

Рівняння (22.2) стосується випадку поширення хвилі вздовж осі OX. Знайдемо тепер форму запису рівняння плоскої монохроматичної хвилі, що поширюється в довільному напрямі. Нехай, для спрощення, цей напрям є перпендикулярним до осі ОZ. Тоді вектор швидкості хвилі  v  лежить у площині XOY, а хвильові поверхні утворюють систему площин, перпендикулярних до v. Виберемо довільну точку D, положення якої задається радіусом-вектором  r, проведемо через неї пряму АВ, яка зображує відповідну хвильову поверхню, рис. 22.3. Коливання всіх точок цієї хвильової поверхні є синфазними і співпадають із коливаннями точки С. Отже рівняння коливань точки D має вигляд

Відстань  l  виразимо через радіус-вектор  r  точки D та одиничний вектор (орт)  нормалі  n  до хвильової поверхні, який задає напрям поширення хвилі:

Тоді маємо

Величина

(22.11)

називається хвильовим вектором. Його модуль дорівнює хвильовому числу, а напрям збігається з напрямом поширення хвилі в даній точці простору. Відтак рівняння плоскої монохроматичної хвилі, що поширюється в довільному напрямі, записується як:

(22.12)

У декартовій системі координат

(22.12а)

Очевидно, що розглянуте раніше рівняння (22.2) є окремим випадком загального рівняння (22.12а), коли k_y = k_z = 0, і  k_х = k.

Загасаючі хвилі

Усе розглянуте вище стосувалося випадку, коли втрати енергії коливань при поширенні хвилі відсутні. Якщо ж середовище поглинає енергію хвилі, то із збільшенням відстані від джерела амплітуда коливань поступово зменшується  спостерігається загасання хвилі. Дослід показує, що загасання відбувається за експоненціальним законом . То ж рівняння плоскої, сферичної та циліндричної хвиль, відповідно, вигляд

(22.13)

 

(22.13а)

 

(22.13б)