40. Стоячі хвилі

При накладанні хвиль, які поширюються в зустрічних напрямках, за відповідних умов утворюються так звані стоячі хвилі, які знаходять застосування в науці та техніці, зокрема, в акустиці.

Розглянемо результат накладання двох плоских монохроматичних хвиль, які мають однакову амплітуду та частоту^[1], але різні початкові фази, і поширюються у протилежних напрямках осі ОХ. Згідно з (22.2) і  (22.5), їх рівняння можна записати у вигляді:

Відповідно до принципу суперпозиції, в усьому просторі утворюються результуючі коливання точок середовища, що визначаються рівнянням

,

(22.33)

де

(22.34)

Амплітуда цих коливань (22.34) періодично змінюється вздовж осі ОХ так, що утворюється низка пучностей − точок із максимальною амплітудою    та вузлів, в яких А = 0, тобто, коливання відсутні. Це нагадує утворення локальних зон коливань (“пакетів”) при накладанні хвиль одного напрямку, але при накладанні зустрічних хвиль амплітуди результуючих коливань (22.34) не залежать від часу, отже, координати пучностей та вузлів лишаються незмінними. Це означає, що коливання не поширюються в просторі, тому такий коливальний процес називається стоячою хвилею. У цьому контексті хвилю, що поширюється, називають біжучою хвилею. Краще уявити стоячу хвилю допоможе рис. 22.7, на якому показані миттєві значення величини   у залежності від координати для трьох моментів часу (t₁, t₂ = t₁ + T/8 і t₃ = t₁ + T/4) для біжучої (а) та стоячої (б) хвилі. Наочне уявлення про стоячу хвилю дає анімація.

Відміною стоячої хвилі від біжучої є також те, що в стоячій хвилі відсутнє перенесення енергії у просторі. Тому для стоячої хвилі інтенсивність не є характерною величиною, і можна говорити лише про об’ємну густину енергії.

На практиці стоячі хвилі утворюються при відбиванні у зворотному напрямку хвилі, що падає на дзеркало − перепону, яка відкидає падаючу хвилю без поглинання її енергії. Тому координату х у рівняннях хвиль відраховують від точки відбивання. При цьому можливі два випадки. При відбиванні від більш густого середовища, наприклад, відбивання повітряної хвилі від твердої поверхні, фаза хвилі стрибком змінюється на протилежну, тобто в (22.33) і (22.34) . А при відбиванні від менш густого середовища, як, приміром, для хвилі, що поширюється всередині твердого стержня, фаза не змінюється (  ). Тому амплітуда стоячої хвилі (22.34) виражається одним із двох рівнянь:

	1)   , або
	2)

З цих рівнянь випливає, що в першому випадку у точці відбивання х = 0 утворюється вузол, а в другому − пучність стоячої хвилі. Відстань між сусідніми вузлами або пучностями  , яка визначається умовою    у випадку 1)  і аналогічною умовою у випадку 2), дорівнює

.

(22.35)

Відповідно координати вузлів у випадку 1) і пучностей у випадку 2) визначаються рівнянням

(22.36)

а координати пучностей у випадку 1) і вузлів у випадку 2) визначаються рівнянням

(22.36а)

Реально стоячі хвилі утворюються в обмеженому об’ємі, наприклад, у стержні, або в трубі. При цьому відбивання відбувається від двох стінок, що накладає суттєві обмеження на можливість утворення стоячих хвиль. Справді, на відбиваючій поверхні обов’язково має утворитись або вузол, або пучність. Тому на відстані між стінками повинна вкладатися ціла кількість вузлів або пучностей. Це означає, що при поширенні хвиль між двома стінками, розміщеними на відстані l, можуть утворюватися лише стоячі хвилі із значеннями довжини хвилі    і хвильового числа  , які задовольняють умовам

(22.37)

Тому при створенні в тілі одразу коливань із багатьма різними частотами, в ньому установлюється система стоячих хвиль із дискретним набором (спектром) довжин хвиль і частот. Так, зокрема, відбувається при збудженні звуку в музичних інструментах. При цьому спектр стоячих хвиль, що утворюються, залежить від форми та розмірів порожнин (резонаторів) й визначає характерний тембр різних інструментів.

^[1] Для поперечних хвиль однаковим має бути ще й напрям, уздовж якого відбуваються коливання.