- •36. Хвилі
- •Загальні характеристики хвиль
- •Поздовжні та поперечні хвилі. Монохроматичні хвилі
- •Рівняння плоскої монохроматичної хвилі
- •Характеристики монохроматичної хвилі
- •Фаза хвилі. Фазова швидкість і хвильові поверхні
- •Рівняння сферичної та циліндричної хвиль
- •Різниця фаз та різниця ходу хвиль
- •Рівняння плоскої хвилі, що поширюється у довільному напрямі
- •Загасаючі хвилі
- •37. Хвильове рівняння
- •38. Енергія та інтенсивність механічної хвилі Механічні хвилі
- •Енергія та інтенсивність механічної хвилі
- •Швидкість механічних хвиль
- •39. Хвильові пакети. Групова швидкість
- •40. Стоячі хвилі
- •41. Хвильове рівняння для електромагнітної хвилі. Доведення поперечності електромагнітної хвилі. Електромагнітні хвилі
- •Загальні властивості електромагнітних хвиль
- •42. Вектор Пойнтінга та інтенсивність електромагнітної хвилі
- •Шкала електромагнітних випромінювань
37. Хвильове рівняння
Рівняння будь-якої хвилі можна одержати як розв’язок єдиного диференціального рівняння, що називається хвильовим рівнянням. Для незагасаючих хвиль воно має вигляд
|
|
(22.14) |
де символи або означають оператор Лапласа. У декартових координатах
|
= |
|
Що це дійсно так, проілюструємо на прикладі плоскої монохроматичної хвилі.
Знайдемо другі частинні похідні по часу і по координатах від функції в рівнянні (22.12,а):
|
|
|
|
|
|
Аналогічно:
|
|
|
Додавши похідні по всіх координатах, одержимо
|
, |
|
де враховано, що . Прирівнявши вирази через похідні і, врахувавши (22.7), знаходимо:
|
|
|
38. Енергія та інтенсивність механічної хвилі Механічні хвилі
Механічні хвилі можуть існувати тільки у середовищах, які мають пружні властивості. В таких середовищах, завдяки наявності сил взаємодії між окремими частинками, рух однієї з них викликає рух інших. Тому збурення все далі віддаляється від місця його виникнення, тобто утворюється хвиля.
Енергія та інтенсивність механічної хвилі
У пружному середовищі, в якому поширюється механічна хвиля, зосереджена енергія хвилі, що складається з кінетичної енергії К коливального руху частинок та потенціальної енергії U пружної деформації середовища, створюваної цим рухом. Розподіл енергії у кожній точці простору визначається об’ємною густиною . Для її визначення знайдемо вираз dW = dK + dU енергії, що зосереджена в елементарному об’ємі dV, у межах якого зміщення та швидкості руху всіх точок можна вважати однаковими. Якщо на момент t швидкість коливального руху точок виділеного об’єму дорівнює u, то його кінетична енергія
|
|
|
де густина середовища. Для плоскої монохроматичної хвилі швидкість u визначається рівнянням (22.15), отже
|
|
|
Тепер знайдемо dU. З механіки відомо, що потенціальна енергія пружної деформації в об’ємі dV визначається, як
|
|
|
де Е модуль пружності (модуль Юнга), відносна деформація. Для її визначення уявімо стержень із перерізом S, по якому поширюється поздовжня хвиля. Виділимо в стержні елементарний шар об’єму dV = Sdx (рис. 22.4а). Унаслідок зміщення частинок товщина шару dx за час dt зміниться на величину (рис. 22.4б), отже відносна деформація дорівнюватиме
|
|
|
|
З рівняння хвилі (22.2) маємо:
|
|
|
отже
|
|
|
Виразивши модуль Юнга з формули (22.17) та урахувавши, що , одержимо
|
|
|
Відтак повна енергія dW у виділеному об’ємі dV
|
|
(22.20) |
а об’ємна густина енергії пружної хвилі
|
|
(22.20а) |
Із виразів (22.20) і (22.20а) випливає, що енергія хвилі в будь-який заданий момент часу нерівномірно розподілена в просторі, і в будь-якій точці змінюється з часом. При цьому координата довільної точки із заданим значенням задовольняє рівнянню
|
|
|
Це означає, що в монохроматичній хвилі енергія переноситься від джерела до віддалених точок, і швидкість перенесення дорівнює фазовій швидкості хвилі[1]. Мірою перенесення енергії хвилі є густина потоку енергії j − енергія, що переноситься за одиницю часу крізь одиничну площадку, перпендикулярну до напрямку поширення хвилі:
|
|
(22.21) |
За час dt крізь площадку хвиля переносить енергію, зосереджену в об’ємі і рівну . Отже, величина густини потоку енергії j дорівнює
|
|
(22.22) |
Оскільки напрям перенесення енергії співпадає з напрямом вектора v, то густину потоку енергії розглядають як вектор
|
|
(22.23) |
який називають вектором Умова. Розгорнуто він записується, як
|
|
(22.24) |
Частота хвиль переважно є досить високою, і величина j швидко змінюється з часом. Тому для практики являє інтерес середнє у часі значення модуля вектора, вектора густини потоку енергії, яке називається інтенсивністю хвилі І:
|
|
|
Середнє значення функції sin2 легко знайти, скориставшись тотожністю :
|
|
|
Оскільки для кожного додатного значення функції косинус на протязі періоду обов’язково існує таке саме по модулю від’ємне значення, то [2], отже Таким чином
|
|
(22.25) |
Вартий уваги той факт, що інтенсивність хвилі є пропорційною квадратові її амплітуди:
|
|
(22.25а) |
[1] У реальних хвилях енергія переноситься із груповою швидкістю.
[2] Корисно взяти до уваги, що цей результат є чинним і для будь-якої іншої періодичної знакозмінної функції, графік якої є симетричним відносно осі абсцис.