- •27. Гармонічні коливання
- •Загальні характеристики коливань.
- •Механічні коливання
- •Незагасаючі гармонічні механічні коливання
- •Пружинний маятник
- •Математичний маятник
- •Фізичний маятник
- •Кінематичні характеристики гармонічних коливань
- •Динамічні характеристики гармонічних коливань
- •Максимальні значення кінетичної та потенціальної енергій однакові.
- •Диференціальне рівняння коливального руху
- •28. Аналогія в описанні гармонічних коливань та обертального руху
- •29. Додавання коливань. Биття
- •Додавання коливань одного напрямку. Биття
- •Додавання взаємно перпендикулярних коливань
- •30. Загасаючі коливання
- •Рівняння загасаючих коливань
- •Параметри, що характеризують загасаючі коливання
- •31. Вимушені коливання, резонанс
- •32.Вільні коливання у контурі
- •33. Вимушені коливання в контурі. Резонанс
- •34. Змінний електричний струм. Векторна діаграма для струмів і напруг.
- •Резистор, котушка, конденсатор в колі змінного струму
- •35. Потужність, що виділяється в колі змінного струму
30. Загасаючі коливання
Незагасаючі коливання, розглянуті вище, є ідеалізацією. В реальності на коливне тіло діють різноманітні сили тертя і опору, які призводять до втрат енергії, відтак і до загасання коливань.
Рівняння загасаючих коливань
Розглянемо найбільш типовий випадок, коли сили опору пропорційні швидкості руху коливного тіла:
|
|
(20.39) |
де стала, яку називають коефіцієнтом опору. Знак « » зумовлений тим, що сила опору напрямлена протилежно до напряму руху. Оскільки на тіло в даному випадку діють дві сили: квазіупружна сила та сила опору, рівняння другого закону Ньютона набуває вигляду:
|
|
|
Перепишемо це рівняння у канонічній формі:
|
|
|
і введемо позначення: . Коефіцієнт називають коефіцієнтом загасання, власна частота коливань, тобто частота коливань за відсутності загасання. Таким чином, рівняння руху має вигляд
|
|
(20.40) |
Вигляд функції, яка є розв’язком цього рівняння залежить від співвідношення коефіцієнтів . Якщо , то коливання не відбуваються і тіло, яке вивели із стану рівноваги, повільно повертається в цей стан. Якщо ж , то розв’язком рівняння (20.40) є функція
|
|
(20.41) |
Тут циклічна частота коливань
|
|
(20.42) |
|
Графік функції (20.41) представлений на рис 20.13. Пунктиром показані межі, в яких знаходиться зміщення коливної точки. Ви можете також побачити загасаючі коливання при різних значеннях коефіцієнта загасання, натиснувши ТУТ.
Відповідно до вигляду функції (20.41) рух точки можна розглядати як коливання з частотою , яка визначається виразом (20.42). Верхня з пунктирних кривих на рис. 20.13 є графіком функції
|
|
(20.43) |
причому a0 це амплітуда у початковий момент часу. Незважаючи на те, що a(t) є функцією часу[1] її задля зручності її також називають амплітудою.
[1] При строгому розумінні термін «амплітуда» має на увазі, що ця величина є незмінною.
Параметри, що характеризують загасаючі коливання
Загасаючі коливання характеризують наступними параметрами: час релаксації, період, логарифмічний декремент загасання, добротність.
Час релаксації це проміжок часу, за який амплітуда коливань зменшується в е 2,71 рази. З формули (20.43) можемо записати:
|
|
(20.44) |
Отже час релаксації величина, обернена до коефіцієнта загасання.
Період загасаючих коливань зв’язаний з циклічною частотою виразом
|
|
(20.45) |
При малому загасанні ( ) період коливань практично не відрізняється від .
Логарифмічний декремент загасання логарифм відношення двох послідовних амплітуд:
|
|
(20.46) |
Якщо врахувати (20.44), то
|
|
(20.46а) |
Відношення часу релаксації до періоду коливань Т дорівнює кількості коливань, які були здійснені системою за час релаксації:
|
|
(20.47) |
Отже логарифмічний декремент загасання є величиною, оберненою до кількості коливань, що здійснюються в системі за час, за який амплітуда коливань зменшуються в е разів.
Добротність Q це величина, яка пропорційна до кількості коливань Ne, що відбуваються в коливній системі за час релаксації :
|
|
(20.48) |
де враховано вираз (20.47).
Можна показати, що добротність пропорційна відносним втратам енергії системи за період коливань:
|
|
(20.49) |
де W енергія коливної системи на початку розглядуваного періоду.