Механічні коливання

При механічних коливаннях за законом синуса або косинуса змінюється величини, що характеризують рух тіла (точки). При цьому особливості руху визначаються силами, що діють на коливне тіло.

Незагасаючі гармонічні механічні коливання

Незагасаючими гармонічними коливаннями називають рух, який описується рівнянням (20.3). Найпростішими коливальними системами, в яких теоретично можливі гармонічні коливання, є пружинний, математичний і фізичний маятники.

Пружинний маятник

Пружинний маятник являє собою невеличке тіло маси m, з'єднане з невагомою пружиною, що має жорсткість k, інший кінець якої закріплений (рис.20.4). За відсутності сил тертя та опору повітря^[1] рух тіла визначається тільки силою пружності

де x величина деформації, зумовленої відхиленням тіла від положення рівноваги^[2]. Сила пружності задовольняє умові (20.11), тому за відсутності сил тертя і опору пружинний маятник (вантаж на пружині), виведений з положення рівноваги і наданий сам собі, здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою

(20.18)

і періодом

(20.19)

де m - маса маятника, k - жорсткість пружини. Це в однаковій мірі стосується і горизонтальних (рис.20.4а), і вертикальних (рис.20.4б) коливань. Відмінність цих коливань тільки в тому, що в першому випадку в положенні рівноваги пружина недеформована, а в другому вона розтягнута внаслідок притягання вантажу до Землі.

Математичний маятник

У строгому розумінні математичний маятник являє собою матеріальну точку, підвішену на невагомій нерозтяжній нитці довжини l. Такий ідеальний маятник моделюють маленькою важкою кулькою, що висить на легкій нерозтяжній нитці^[1] (рис. 20.6). Якщо кульку штовхнути, то вона віддалятиметься від положення рівноваги, при цьому на неї діє момент сили тяжіння, який перешкоджає руху (намагається повернути кульку до положення рівноваги). Момент сили натягу нитки F_н при цьому дорівнює нулеві, отже рівняння руху кульки має вигляд:

де кутове прискорення, m маса кульки, момент її інерції відносно осі, що проходить через точку кріплення нитки О перпендикулярно до площини рис. 20.6. Знак мінус у формулі зумовлений гальмівною дією моменту сили тяжіння. Урахувавши, що момент інерції кульки, яку вважаємо матеріальною точкою, , а кутове прискорення , одержимо

(20.23)

Це досить складне диференціальне рівняння, яке не має розв’язку в елементарних функціях. Однак якщо максимальний кут відхилення нитки від вертикалі малий, то можна скористатися наближеним виразом . Тоді