27. Гармонічні коливання
В природі та техніці нерідко спостерігаються процеси, які з більшою, чи меншою точністю повторюються у часі. Такі процеси називають коливаннями.
Коливальні
процеси класифікують за різними ознаками,
найчастіше
за
їх фізичною природою. При цьому
виокремлюють механічні та електромагнітні
коливання.
При всій різноманітності природи і походження коливань усі вони мають дуже багато спільних рис, і описуються однаковими математичними виразами. Тому, вивчивши і зрозумівши особливості одного з різновидів коливань, легко можна зрозуміти й особливості інших.
Загальні характеристики коливань.
Найбільш важливим різновидом коливань є процеси, які повторюються через точно однакові проміжки часу.
Мінімальний проміжок часу T, через який стан коливної системи, або тіла повністю повторюється, називається періодом коливань.
Період коливань вимірюють у секундах (с).
Обернена до періоду величина, яка показує скільки разів за одну секунду стан коливного тіла (системи) повністю повторюється, називається частотою коливань
|
|
(20.1) |
Одиницею
частоти є герц (Гц): 1 Гц = 1 с
1.
При частоті 1 Гц стан тіла (системи)
повторюється один раз за секунду.
Для кількісного описання поведінки коливного процесу залежно від часу треба мати відповідну математичну функцію. Очевидно, що така функція часу f(t) повинна задовольняти вимозі:
|
f(t) = f(t + T). |
(20.2) |
Найпростішими,
і в той же час, найважливішими періодичними
функціями синус, або косинуса[1].
Процеси, які описуються цими функціями
називають гармонічними коливаннями.
Оскільки функції синуса та косинуса
повторюються при зміні аргументу
на
,
то рівняння гармонічних коливань має
вигляд:
|
|
(20.3) |
У
цих функцій величина A
це
амплітуда
коливань
максимальне
відхилення параметра, що змінюється,
від його рівноважного значення,
аргумент тригонометричної функції
це
фаза коливань,
(чи
)
початкова
фаза,
тобто фаза на момент t = 0.
Для описання гармонічних коливань зручно користуватися циклічною частотою[2]:
|
|
(20.4) |
Циклічну частоту вимірюють у радіанах за секунду (рад/с), але майже завжди розмірність цієї величини записують як 1/с, або с 1. З використанням циклічної частоти функцію (20.3) набуває вигляду
|
|
(20.3а) |
Звичайно, гармонічні коливання це ідеалізація. В природі і техніці існують процеси, які повинні бути описані значно складнішими функціями, але як буде показано нижче, навіть складні негармонічні періодичні процеси досить просто представляти за допомогою функцій (20.3). Саме це і визначає важливість вивчення гармонічних коливань.
[1]
Принципових
відмін між цими функціями немає, окрім
того, що їхні аргументи відрізняються
на
[2] Сенс введення циклічної частоти стане зрозумілим після того, як буде розглянута аналогія між гармонічними коливаннями та обертальним рухом.