Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Розглянемо систему, що має два степеня  вільності, тобто таку, для описання якої потрібні дві параметри. Прикладом такої системи є важка кулька, підвішена на довгій нитці (математичний маятник), яка може здійснювати коливання у двох взаємно перпендикулярних напрямах (частоти коливань в цьому випадку вздовж цих напрямів точно співпадають).

На практиці нерідко виникають ситуації, при яких накладаються коливання різних частот. В результаті цього траєкторія руху точки  має  складну форму, яка залежить від частот коливань та різниці їх початкових фаз.

 

1.       Додавання коливань однакової частоти

2.       Додавання коливань різних частот. Фігури Ліссажу

 

1. Найпростіше додавати коливання однакової частоти. Припустимо, що коливання відбуваються вздовж осей OX та OY. За початок відліку часу обираємо момент, коли фаза першого коливання дорівнює нулю. Тоді рівняння коливань можна записати у вигляді:

(20.33)

де      різниця фаз коливань. Для того, щоб одержати рівняння траєкторії  y(x),  тобто залежність координати y від координати x, з рівнянь (20.33) треба виключити час. З першого з рівнянь (20.33) маємо   . Тоді

Друге рівняння представляємо у вигляді

і підставимо в нього   :

(20.34)

Після піднесення до квадрату і нескладних перетворень одержимо

(20.35)

З аналітичної геометрії відомо, що це є рівняння еліпса, орієнтація осей якого досить складно залежить від амплітуд  a,  b  і  різниці фаз   .  Розглянемо деякі випадки.

1)   .  З (20.34) маємо

(20.36)

тобто точка здійснює коливальний рух вздовж прямої лінії. Ця обставина дозволяє представити коливання вздовж прямої у вигляді двох коливань, що відбуваються у взаємно перпендикулярних площинах. Такий підхід виявився дуже плідним в кристалооптиці.

2)   .  З (20.35) маємо:

звідки результуючий рух також являє собою гармонічне коливання вздовж прямої

(20.37)

3)   .  З  рівняння (20.35) 

(20.38)

тобто точка рухається по еліпсу. При рівності амплітуд еліпс перетворюється на коло.  Випадки     та      відрізняються тільки напрямами руху точки.

 

2. Додавання коливань різних частот. Фігури Ліссажу. Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не є однаковими, то траєкторія результуючого руху являє доволі складну криву, яку називають фігурою Ліссажу. Для випадку кратних частот рівняння відповідних кривих можна одержати за формулами тригонометрії. Наприклад, якщо координати змінюються з часом за законом   ,  то . Тоді

Таким чином,

Вигляд цієї кривої представлений на рис. 20.11.

Інші фігури Ліссажу для різних співвідношень частот і для різних зсувів фаз коливань представлені на рис. 20.12. Динаміку побудови деяких з цих фігур ви можете побачити, натиснувши тут.