Динамічні характеристики гармонічних коливань

Динамічними характеристиками є імпульс, сила, енергія.

 

Імпульс  коливної точки, рух якої описується рівнянням (20.7), з урахуванням (20.8) дорівнює

(20.10)

Сила, що діє на коливну точку:

(20.11)

де      амплітуда сили,

(20.12)

 сталий коефіцієнт пропорційності.

Звертає на себе увагу той факт, що при гармонічних коливаннях на коливну точку діє сила подібна до сили пружності. Тому, сили будь-якого фізичного походження, які зумовлюють гармонічні коливання, називають квазіпружними, тобто подібними до сили пружності. Формула (20.12) часто застосовується для визначення циклічної частоти, отже і періоду, коливань. Більш детально ми зупинимося на цьому у прикладах розв’язування задач.

Точка, що здійснює коливання, має кінетичну та потенціальну енергію. Кінетична енергія  коливної точки з урахуванням виразу (20.8) має вигляд:

(20.13)

Таким чином, кінетична енергія точки змінюється з частотою у 2 рази більшою за частоту коливань. Максимальне значення кінетичної енергії

Виразивши    з (20.12), одержимо

(20.14)

Оскільки сила, що діє на рухому точку, є квазіпружною, тобто подібною до консервативної сили пружності  для коливної системи можна вводити поняття потенціальної енергії

(20.15)

Так само як і кінетична, потенціальна енергія змінюється з частотою у 2 рази більшою за частоту коливань. Максимальне значення потенціальної енергії

(20.16)

Порівняння (20.14) і (20.16) показує, що

Максимальні значення кінетичної та потенціальної енергій однакові.

Повна енергія коливної точки  це сума кінетичної та потенціальної енергій. Урахувавши, що їх максимальні значення однакові, одержимо:

(20.17)

Таким чином, повна енергія не залежить від часу, тобто зберігається. Цей результат має просте пояснення: гармонічні коливання можливі тільки тоді, коли відсутні сили тертя й опору, тобто не відбувається перетворення механічної енергії в інші форми. Графіки залежностей від часу кінетичної K, потенціальної U  та повної W  енергій наведені на рис. 20.3.

Диференціальне рівняння коливального руху

Нехай тіло маси m, яке прикріплене до пружини жорсткістю k, може рухатися по горизонтальній поверхні без тертя (рис.20.5). Цей  відбувається тільки під дією сили пружності (сила тяжіння і сила нормальної реакції опори скомпенсовані, сила тертя відсутня). Напрямивши вісь OX  уздовж вектора швидкості, запишемо рівняння руху в проекціях на цю вісь:

Оскільки прискорення   ,  то

(20.20)

Представимо це диференціальне рівняння в канонічній формі, тобто такій, коли коефіцієнт перед старшою похідною дорівнює одиниці і всі члени, в які входять змінні величина, або її похідні, знаходяться в одній його частині:

Позначимо

(20.21)

Тоді маємо

(20.22)

В математиці показано, що функціями, які задовольняють записане рівняння, в тригонометричній формі є синус, чи косинус (див. (20.3а)), а в показниковій  функція   . Величину  ,  яка входить у  ці функції і визначається виразом (20.21), називають власною циклічною частотою.  Їй відповідає період коливань

що співпадає з (20.19).