§2.2 Операторная форма записи линейных моделей

Понятие о статических и динамических характеристиках элементов и систем. Термины система, подсистема, звено можно рассматривать как синонимы, если их математические модели однотипны. В данной главе рассматриваются одноканальные объекты (звенья), в которых есть только одна выходная переменная. По характеру реакции на входное воздействие звенья могут быть разделены на статические (безынерционные) и динамические (инерционные). В статической системе выход y(t) для каждого момента времени t однозначно определяется по значениям входного воздействия U(t) в тот же момент. В динамических системах y(t) зависит не только от U(t) в тот же момент времени, но и от предыстории изменения входа в некотором интервале U[t₀, t₁] и совокупности величин x(t₀), определяющих начальное состояние системы.

В ТАУ основное внимание уделяют динамическим САУ, в которых выделяют неустановившийся (переходной), установившийся и статический режимы работы. Переходной режим является реакцией системы (элемента) на вновь появившееся воздействие. Характер переходного процесса зависит от типа воздействия и собственных свойств системы. Установившийся (вынужденный) режим – это режим, в котором выходная величина изменяется по закону, определяемому входным воздействием. Установившийся режим имеет место после окончания переходного процесса. Статический режим – это установившийся режим при постоянном входном воздействии. Зависимость выходной величины элемента или системы от входных переменных в установившимся режиме называется статической характеристикой.

Примером статической характеристики генератора постоянного тока независимого возбуждения может служить внешняя характеристика (рис.2.1б), представляющая собой зависимость напряжения U на клеммах генератора от тока нагрузки при постоянных токе возбуждения и скорости вращения якоря. Режим, на который, как правило, рассчитана работа генератора или другого технического устройства, будем называть базовым или номинальным (обозначен индексом О). В общем случае статические характеристики являются нелинейными.

Рис.2.1 Принципиальная схема генератора постоянного тока (а)

и его внешняя характеристика (б)

Линеаризация. Переходные (неустановившиеся) режимы в большинстве случаев описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Обычно стремятся заменить исходные нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системе (элементе). Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией. Переход к линейным уравнениям существенно упрощает моделирование, анализ и синтез САУ.

В нормально функционирующей САУ фактический режим обычно незначительно отличается от номинального режима. Это позволяет произвести линеаризацию, раскладывая нелинейные функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами, если линеаризуемая функция обладает непрерывными частными производными по всем аргументам в окрестности базового режима.

Геометрически линеаризация означает (рис.2.2) замену исходной кривой АВ отрезком ее касательной в точке 0, соответствующей базовому режиму.

Рис.2.2 Линеаризация кривой АВ

Линеаризованное уравнение удобно записывать в отклонениях от базового режима, что равносильно переносу начала координат в точку 0. Уравнение касательной в отклонениях имеет вид:

,

где – коэффициент передачи; , .

Значение является мерой статизма элемента или системы. Если =0 (выходная координата не зависит от входной), то элемент (система) является астатическим относительно рассматриваемой входной координаты.

Рассмотренный прием можно применить и для линеаризации дифференциального уравнения. Для примера рассмотрим уравнение второго порядка

,

где и – первые производные по времени;

– вторая производная по времени.

Линеаризуя это уравнение, получим:

.

Таким образом, линеаризация функции (уравнения) сводится к составлению суммы произведений частных производных линеаризуемой функции (уравнения) по каждому аргументу, вычисленных в точке, соответствующей базовому режиму функционирования объекта (системы), на отклонение аргумента, по которому выполнялось дифференцирование.

Система (элемент), процессы в которой описываются линейными (линеаризованными) уравнениями, является линейной.

Линейные операторы обладают свойствами однородности и аддитивности. Это означает, что в линейной системе выходная переменная изменяется пропорционально усилению (ослаблению) входного воздействия, а реакция на сумму любых воздействий равна сумме реакций на эти воздействия. Иными словами реакция линейной системы на линейную комбинацию воздействий равна той же линейной комбинации реакций системы на каждое воздействие в отдельности. Это свойство, называемое принципом суперпозиции, в частности, позволяет исследовать СУ относительно каждого внешнего воздействия без учета остальных воздействий, что существенно упрощает решение задач анализа и синтеза.

Рассмотренная методика линеаризации применима для функций, которые можно разложить в ряд Тейлора, т.е. когда функция является аналитической в рабочей области.

Форма записи дифференциальных уравнений. Математические модели элементов и системы в целом в ТАУ часто представляют обыкновенными дифференциальными уравнениями записанными в операторной (символической) форме, основанное на использовании условного (символического) обозначения производных и интеграла: , где =1,2,3…; .

При записи дифференциальных уравнений в операторной форме оператор следует рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение – как произведение, не обладающее свойством коммутативности: нельзя вместо рy писать .

Дифференциальные уравнения в ТАУ обычно приводят к стандартной форме, для чего делят все члены уравнения на коэффициент слагаемого при выходной координате, не содержащего оператор . Если коэффициент равен нулю, деление выполняют на первый, отличный от нуля, коэффициент при самой младшей производной от выходной координаты.

При записи линейных уравнений в ТАУ принято выходную величину и ее производные записывать в левой части уравнения, а все остальные члены переносить в правую часть. Все перечисленные правила делают запись дифференциальных уравнений более компактной и удобной для практического применения.

Пусть объект описывается следующим уравнением

.

Вводя оператор (символ) дифференцирования , получим:

,

или в более компактной форме

.

Запишем последнее уравнение в стандартной форме:

.

Широко пользуются следующими обозначениями: .

Коэффициенты и имеют размерность времени и называются постоянными времени. Коэффициент передачи характеризует передаточное отношение элемента (системы) в установившемся режиме. Размерность определяется размерностями переменных и .

С учетом принятых обозначений исходное дифференциальное уравнение приводим к стандартной форме:

Решить уравнение, т.е. найти реакцию элемента на изменение , можно, если задан закон изменения и определены начальные условия

; ; .

В ТАУ широко пользуются нулевыми начальными условиями, полагая:

.

В более общем случае модель вида «вход–выход» описывается скалярным обыкновенным линейным дифференциальным уравнением –порядка с постоянными коэффициентами, которые, используя операторные полиномы и или А(р) и В(р), можно записать в компактной форме

, (2.1)

где – собственный оператор;

– оператор воздействия.

Понятие о передаточной функции. Уравнение (2.1) часто представляют в следующем виде

. (2.2)

Отношение оператора воздействия к собственному оператору звена называют операторной передаточной функцией W(p), которую записывают не производя возможных сокращений. Запись (2.2) является чисто символической и не дает решения уравнения (2.1).

Для рассматриваемого примера:

.

Передаточная функция не зависит от закона изменения внешнего воздействия и определяется только свойствами элемента относительно выбранного воздействия. При одной выходной координате число , характеризующих динамику элемента, определяется числом входных переменных.

Более строгое определение передаточной функции как наиболее компактной формы описания динамических свойств элементов и систем основано на применении преобразования Лапласа. При этом считается, что рассматриваемой функции времени , которую называют оригиналом, можно найти «лапласово изображение» :

,

где – комплексная переменная.

Преобразование Лапласа возможно, если: при ; при растет не быстрее некоторой показательной функции , где и постоянные; на любом конечном отрезке времени однозначна, конечна и кусочно–непрерывна.

Составлены таблицы (примеры даны в табл.2.1), позволяющие определять изображение по оригиналу и выполнять обратное преобразование Лапласа, т.е. находить оригинал по изображению.

В основе этого способа перехода от дифференциальных уравнений к передаточным функциям лежат следующие правила:

; ,

справедливые при нулевых начальных условиях. Здесь – символ интеграла Лапласа (читается Лапласиан). Обратное преобразование Лапласа, позволяющее найти оригинал по изображению, обозначают .

Применим приведенные правила к дифференциальному уравнению второго порядка

,

получим алгебраическое уравнение

,

где – комплексная переменная.

Отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях называют передаточной функцией

.

Совпадение по форме выражений для передаточных функций, полученных с использованием операционного исчисления (преобразования Лапласа) и символической (операторной) записи дифференциального уравнения, позволяет определять по дифференциальному уравнению без преобразования его по Лапласу. Следует подчеркнуть, что сходство между этими чисто внешнее и имеет место лишь для стационарных систем, т.е. для случая, когда коэффициенты уравнения постоянны.

Таблица 2.1

Изображение простейших функций времени по Лапласу

Наименование функции	X(t)	X(p)
Дельта-функция		1
Ступенчатая функция
Степенная функция
Экспонента
Синусоида
Косинусоида

Таким образом, передаточную функцию формально можно получить из линейного дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях, путем замены в нем символа дифференцирования оператором и деления образующегося при этом коэффициента или многочлена правой части (оператора воздействия) уравнения на многочлен левой части (собственный оператор). При таком переходе следует избегать сокращения общих делителей полиномов числителей и знаменателей (диполей рациональных функций). Такое сокращение приводит к потере составляющих свободных движений, вызванных ненулевыми предначальными условиями.

Оператор W(p), связывающий вход звена с выходом, характеризуется структурой и параметрами. Параметрами оператора являются коэффициенты полиномов А(р) и В(р), а структура определяется заданием степеней n и m (2.1), где n – определяет порядок дифференциального уравнения.

Наряду с полиноминальной формой (2.2) передаточная функция может быть задана в факторизованном виде

, (2.3)

где – множество нулей, т.е. корней уравнения В(р)=0;

– множество полюсов, т.е. корней уравнения А(р)=0.

Передаточные функции, все нули и полюсы которых находятся в левой полуплоскости, называют минимально-фазовыми.

Понятие о временных и частотных характеристиках звеньев и систем. Наглядное представление о свойствах элемента (системы) дает решение дифференциального уравнения, описывающего его динамику при типовых (регулярных) внешних воздействиях и нулевых начальных условиях.

В качестве типовых воздействий обычно используют единичную ступенчатую функцию (функцию Хевисайда) ; единичную импульсную функцию (дельта-функцию) ; гармоническую функцию .

Аналитическое представление единичной ступенчатой функции имеет вид .

Реакцию элемента (системы) при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия и нулевых начальных условиях называют переходной функцией и обозначают . График зависимости от времени называется переходной характеристикой (рис.2.3).

Рис.2.3 Графики и

Дельта-функция аналитически определяется следующим образом:

; .

Реакцию элемента (системы) при подаче на его вход сигнала в форме дельта–функции и нулевых начальных условиях называют импульсной переходной функцией (функцией веса); обозначают эту функцию . График называют импульсной переходной характеристикой. Рис.2.4а поясняет определение , а на рис.2.4б приведены график, упрощенно трактующий понятие дельта–функции, и пример характеристики .

Рис.2.4 Наглядное представление определения (рис.а)

и графики и (рис.б)

Дельта–функция обладает следующими важными свойствами.

; ; .

Передаточная, переходная и весовая функции связаны между собой следующими соотношениями:

; ; .

Если известна функция веса W(t), то реакция элемента (системы) y(t) на переменную x(t) определяется интегралом свертки , т.е. оператор преобразования имеет форму интегрального уравнения.

Частотные характеристики, определяющие взаимосвязь между параметрами установившихся периодических входных и выходных сигналов, является важной формой представления динамических характеристик объектов и систем управления. С математической точки зрения гармоническое воздействие может рассматриваться как сумма двух экспоненциальных воздействий

Использование экспоненциальных функций удобно, так как производная и интеграл от таких функций представляет собой экспоненциальные функции.

К линейным системам применим принцип суперпозиции, поэтому при решении конкретных задач ищется эффект, создаваемый каждым из экспоненциальных воздействий в отдельности.

Вынужденные колебания, вызываемые в линейной динамической системе гармоническим воздействием, представляют собой также гармоническую функцию времени, имеющую ту же угловую частоту ω, что и воздействие, но отличающееся от последнего по амплитуде и по фазе.

Частотная передаточная функция , которую часто называют комплексным коэффициентом передачи, получается заменой на в передаточной функции , т.е.

Функцию можно представить в виде

,

где ; ; , , и ( ) – соответственно вещественная, мнимая, амплитудная и фазовая частотные функции. Графики зависимости , , и называют амплитудной, фазовой, вещественной и мнимой частотными характеристиками, а годограф вектора при изменении частоты от 0 до (или от – до ) – амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Минимально–фазовым передаточным функциям соответствуют меньшие по модулю фазовые сдвиги в сравнении с другими W(p), имеющими ту же АЧХ, но часть нулей и/или полюсов которых расположена справа от мнимой оси. Для минимально-фазовых систем характерно наличие однозначной связи A(ω) с φ(ω), что существенно упрощает анализ и синтез таких систем.

Функцию называют логарифмической амплитудной частотной функцией, а график зависимости от логарифма частоты – логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, но на отметках, соответствующих , пишут значение , а не . Единицей является децибел. Интервал, на котором изменяется частота в 10 раз, называется декадой.

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называют график зависимости фазовой частотной функции ( ) от логарифма частоты .

Расчет временных характеристик. В ТАУ для решения дифференциальных уравнений широко используют операционный метод, позволяющий учесть и ненулевые начальные условия.

Для обыкновенных дифференциальных уравнений (2.1) и типовых воздействий y(p) является дробно-рациональной функцией.

, (2.4)

причем m<n и коэффициенты а_i и b_i действительные. Если известны полюсы, то указанную зависимость можно переписать в виде

, (2.5)

где – кратность корня p_i.

При различных вещественных или комплексных корнях оригинал определяется формулой

, (2.6)

где ; – производная по р.

Если один из корней изображения равен нулю, т.е.

,то

. (2.7)

В практических расчетах при вычислении временных характеристик находит применение метод неопределенных коэффициентов, в соответствии с которым y(p) представляют в виде суммы простых дробей с последующим определением оригинала для каждого слагаемого.

Поясним этот метод на примере

.

Разложив y(p) на сумму простых дробей

и приведя к общему знаменателю, получим

.

Приравнивая коэффициенты числителей при одинаковых степенях р, имеем систему уравнений, решая которую находим А= –1, В= –1, С=3, D= –2.

Поскольку ; ; , получим искомую зависимость

.

Упростить вычисление переходной функции h(t) по изображению y(p) вида (2.4) при

можно, если вначале определить переходную функцию h₀(t) при В(р)=1. Затем вычисляется переходная функция h(t), соответствующая заданному оператору В(р) по формуле

.

В общем случае система, описываемая уравнением (2.1), в момент подачи входного сигнала х(t) может иметь ненулевые начальные условия

.

Учитывая следующее свойство изображений

,

преобразуем уравнение (2.1) по Лапласу:

Используя ранее принятые (2.1) обозначения А(р) и В(р), запишем зависимость, определяющую изображение выходного сигнала[1]

, (2.8)

где

полином, определяемый ненулевым состоянием системы в момент, предшествующий воздействию х(t), т.е. предначальными условиями. Ненулевое предначальное состояние может быть порождено воздействием, поступившим на систему на промежутке .

Если х(р) представить в виде , (2.9)

то . (2.10)

Выходной сигнал, соответствующий изображению y(p), равен

, (2.11)

где ;

;

,

– полюсы передаточной функции В(р)/A(p);

– полюсы изображения воздействия С(р)/D(p);

, т.е. полюсы воздействия не равны полюсам передаточной функции.

Установившееся вынужденное движение при обработке воздействия х(t) порождается его полюсами.

Переходная составляющая вынужденного движения , характеризующая динамические (инерционные) свойства системы, образуется из-за изменения начальных условий внешним воздействием в начальный момент времени (t=0).

Свободное движение вызвано ненулевыми предначальными условиями. Закономерности изменений и определяются полюсами передаточной функции.

Если полиномы А(р) и В(р) не являются взаимно простыми, т.е. имеют диполи – нетривиальные общие делители , то система называется неполной, а передаточная функция вырожденной. Реакция такой системы на типовые воздействия, т.е. временные характеристики h(t) и W(t), не отражают полностью собственные свойства системы. Сокращать диполи вырожденной W(р) не рекомендуется, а в случае правого полюса – недопустимо. Поэтому анализу систем должно предшествовать определение возможности наличия общих делителей в операторных полиномах передаточной функции.

Если предначальные условия, вызванные воздействием, приложенным к любому из входов, таковы, что , то содержит составляющую (моду), соответствующую полюсу .

Анализ зависимости (2.11) позволяет найти и условия удовлетворительного воспроизведения входного воздействия.

Заключение. Динамические свойства одномерных (одноканальных) линейных звеньев и систем могут быть представлены дифференциальными уравнениями, передаточными, переходными, весовыми и частотными функциями. Перечисленные преобразования входных переменных в выходные являются основными формами представления конечномерных линейных стационарных детерминированных операторов. Следует подчеркнуть, что частотные характеристики определяются в установившемся (вынужденном) режиме работы элемента (системы), но характеризуют и динамические свойства исследуемого объекта.

Амплитудно–частотная характеристика имеет размерность, равную отношению размерности выходной величины к размерности входной, и определяет зависимость коэффициента передачи звена от частоты. Фазо–частотная характеристика показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает звено при различных частотах. Реальные технологические объекты с повышением частоты хуже пропускают сигналы, т.е. ослабляют амплитуду и вносят отрицательный фазовый сдвиг.

Амплитудно-частотные характеристики в логарифмических координатах можно аппроксимировать отрезками прямых линий и строить без громоздких вычислений. ЛАЧХ – удобная для практических расчетов форма представления частотных характеристик.

Все перечисленные функции (характеристики) однозначно связаны с уравнением звена (системы). Временные и частотные характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена. Переходу от экспериментально полученных временных или частотных характеристик к передаточной функции обычно предшествует выбор структуры оператора. Результаты такого перехода неоднозначны, т.к. зависят от выбора структуры W(p) оператора и алгоритма обработки данных. Реакция неполной системы, т.е. системы с вырожденной передаточной функцией, на типовые воздействия не отражает полностью собственные свойства системы.