Глава 2 математическое описание элементов и систем управления

§2.1 Назначение, особенности и методы получения моделей систем управления

Модель (от латинского modulus – мера, образ) в широком смысле – это любой образ процесса или объекта (изображение, описание, схема, чертеж, график и т.п.), используемый в качестве его заместителя, «представителя». Построение и использование моделей для исследования явлений и процессов, воспроизведения характеристик или проектирования объекта называется моделированием. Модель может создаваться для познавательных (гносеологических) целей или для управления. Существенной особенностью познавательных моделей является отражение внутреннего механизма явления или объекта. В модели, разрабатываемой специально для целей управления (модели управления), достаточно решить более узкую задачу: определить характер и особенности связей между входными и выходными координатами объекта, управляющего устройства или системы в целом. Упрощенные модели, не претендующие на раскрытие внутренних механизмов описываемых процессов и отражающие в количественном отношении лишь самые важные закономерности, присущие им, обычно называют феноменологическими моделями. Модель можно рассматривать как средство, позволяющее описать одни стороны явлений и абстрагироваться от других. Для любого процесса можно получить несколько моделей, соответствующих разнообразию взглядов на исследуемый процесс и отражающих уровень знаний, накопленных в данной области. Попытка создания полных моделей, всесторонне описывающих объект (систему), обычно приводит к нерациональным затратам времени, средств и труднообозримым результатам.

В системах автоматизации используются главным образом математические модели, т.е. математические абстракции, характеризующие исследуемый объект. В математических моделях применяют символьные и иконографические формы математического описания. Иконографические модели, например, графы, структурные схемы, дают наглядное графическое отображение свойств объекта (системы), что облегчает анализ и синтез САУ. Символьные модели представляют собой совокупность формул, уравнений, операторов, логических условий, неравенств и т.п.

В ТАУ под математической моделью чаще всего понимают оператор связи между функциями входных и выходных сигналов ОУ, системы управления или ее элементов. Такие модели называют моделями типа «вход-выход». В установившихся режимах оператор связи вырождается в функцию. Вид оператора без конкретизации значений коэффициентов, входящих в него, определяет структуру математической модели. Задать оператор системы – это задать правило определения выходного сигнала по ее входному сигналу или, иными словами, модель в форме «вход–выход».

Построение модели ОУ является первоочередной задачей, которую необходимо решить при разработке системы управления.

Модель объекта является основной для выбора структуры, алгоритма функционирования и параметров настройки управляющего устройства. Без модели объекта управление можно организовать лишь методом проб и ошибок, что требует больших затрат и заставляет «дергать» объект ошибочными действиями. Знание математической модели позволяет исследовать процессы управления, не прибегая к дорогостоящим натурным экспериментам, а заменяя их имитацией на ЭВМ.

Использование математической модели в алгоритмах управления позволяет экстраполировать поведение объекта и тем самым выбирать наиболее эффективное воздействие на объект управления с точки зрения поставленной цели.

Моделирование САУ предполагает выделение ее из окружающей среды. Система, на которую не оказывает воздействие внешняя среда, называется автономной. Модель автономной системы, т.е. модель собственно САУ, определяет ее свободные движения. Модель системы, включающая связи со средой, описывается операторами, определяющими преобразование входных координат системы в выходные. Эти операторы, дополненные информацией о переменных входа, определяют модель расширенной системы, которая может использоваться для изучения вынужденных изменений переменных выхода.

Воздействия внешней среды на САУ часто моделируются типовыми детерминированными сигналами или случайными сигналами типа «белый шум».

По способам получения математические модели разделяют на теоретические (неформальные, аналитические), которые разрабатывают на основе фундаментальных законов природы, и экспериментальные (формальные), получаемые обработкой результатов наблюдений за входами и выходами объекта, рассматриваемого как «черный ящик».

Использование законов сохранения массы, энергии, импульса и других фундаментальных законов в наиболее общей форме приводит к математическим моделям, в состав которых входят нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Полученные уравнения обычно упрощаются в направлении, определяемом классификационными признаками: от нелинейных к линейным, от стохастических к детерминированным моделям, от распределенных к конечномерным и т.п. При этом получаются универсальные модели, справедливые для целого класса подобных объектов, широкого диапазона изменения параметров объектов и внешних воздействий. Однако формирование таких моделей требует высокой квалификации исполнителя, а полученные результаты не учитывают в полной мере индивидуальные особенности технологического оборудования и сырья (полуфабриката). Формальные модели обычно точнее теоретических в исследованном диапазоне параметров, проще по структуре, не требуют детальных знаний сущности моделируемого процесса.

Процедуру построения математической модели объекта по результатам измерения входных и выходных сигналов называют идентификацией объекта (процесса). Методы идентификации делятся на пассивные и активные. Метод идентификации называется активным, если на объект подаются специальные воздействия с целью определения его характеристик. Пассивные методы идентификации – это методы, в которых модель объекта выбирают по результатам наблюдения входных и выходных сигналов в процессе нормальной эксплуатации и на объект не подаются никакие специальные (тестовые) сигналы с целью выявить его свойства. Пассивные методы удобны тем, что не нарушают нормального хода технологического процесса. Преимущество активных методов в том, что энергия тестового воздействия сосредоточена в узкой временной или частотной области, поэтому реакцию объекта на тестовые сигналы выявить легче и надежнее. Идентификация ОУ в процессе нормального функционирования замкнутых САУ требует использования тестовых воздействий. Это связано с тем, что входным воздействием при идентификации объекта с целью получения его модели, пригодной для последующего синтеза регулятора, должно быть выбрано регулирующее воздействие, которое в замкнутой системе формируется по результатам измерения выходной переменной объекта. Это нарушает основную предпосылку регрессионного анализа, требующую независимости идентифицирующего воздействия от действующих на объект возмущений.

На практике экспериментальному способу получения модели часто предшествует аналитический подход, в ходе которого определяют структуру и приближенные значения параметров модели, а затем обработкой результатов опытных данных уточняют их значения.

Эффективным подходом, упрощающим процедуру построения математического описания САУ, является декомпозиция (разделение) ее на ряд элементов (звеньев) направленного действия. При этом каждый функциональный элемент САУ (см., например, рис.1.4) рассматривается как преобразователь, обладающий способностью передавать физические воздействия и информационные сигналы в одном строго определенном направлении.

Взаимодействие между звеньями задается направленными связями между их входами и выходами, определяющими структуру системы.

Наличие причинно-следственной взаимосвязи элементов направленного действия и отличает модели САУ от структурных моделей обычных физических систем.

Следует иметь в виду, что при использовании принципа декомпозиции для моделирования систем, включающих в себя замкнутые подсистемы, возникают трудности в принятии допущений об однонаправленности идентифицируемых элементов системы.

Заключение. Математическое моделирование является важнейшим методом исследования динамических свойств систем управления. При построении модели САУ каждый функциональный элемент обычно рассматривается как преобразователь информации (звено), описываемый оператором определенного вида. Причинно-следственные взаимосвязи звеньев направленного действия образуют структуру СУ.

В этой главе ограничимся рассмотрением статических и динамических моделей в конечномерном детерминированном линейном и непрерывном приближении.