Глава 3 устойчивость и качество процесса управления линейных непрерывных систем

§3.1 Точность систем управления при типовых воздействиях

Понятие о качестве управления. Качество САУ, как любой технической системы или устройства, может быть оценено совокупностью различных показателей, включая вес, габариты, стоимость, надежность, долговечность и т.п.

В ТАУ термины «качество системы» и «качество управления» используются в узком смысле, а именно для оценки поведения системы в установившемся и переходном процессах.

Соответственно различают показатели, характеризующие вынужденную (установившуюся) составляющую (см.2.11), по которой определяют точность системы, и показатели (см.§3.3), определяющие качество переходного процесса . Установившийся режим при постоянных внешних воздействиях называют статическим.

Как правило, любая САУ выполняет две основные функции: воспроизведение задающего воздействия и подавление (компенсацию) возмущений. Эти функции реальной системой выполняются с погрешностью возникающей из-за инерционности элементов системы и наличия звеньев запаздывания.

, (3.1)

Как было показано в §2.4, сигнал ошибки содержит в себе составляющую , характеризующую точность воспроизведения задающего воздействия, и составляющие , определяющие качество выполнения функций подавления возмущений.

Близость выходной координаты y(t) к задающему воздействию v(t), т.е. ковариантность с заданием, предполагает, что АЧХ системы близка к единице на всех полюсах воздействия, а переходная и свободная составляющие со временем затухают.

Формы и условия обеспечения инвариантности. Абсолютная инвариантность, т.е. полная независимость выходной координаты y(t) от воздействия f(t)возможна при равенстве нулю передаточной функции , связывающей эти переменные. При выполнении этого условия равны нулю установившаяся и переходная составляющие вынужденного движения, что следует из анализа зависимости (2.11). Однако свободные движения, обусловленные ненулевыми предначальными условиями, могут быть и в этом случае. Обычно удается добиться не абсолютной, а инвариантности до некоторого значения .

При автоматизации технологических процессов особое значение придается обеспечению малости установившейся ошибки на некоторые типы воздействий. Такую форму инвариантности называют селективной.

Если содержит нули, равные полюсам возмущения, то имеет место селективная абсолютная инвариантность. Селективную инвариантность до обеспечивают, ограничивая модуль на частотах воздействия, т.е. в той области комплексной плоскости, где размещены полюсы воздействия. При этом для уменьшения переходной составляющей необходимо по возможности отдалять полюсы воздействия от полюсов передаточной функции.

Для достижения инвариантности используют компенсирующие устройства .

При последовательном включении (рис.3.1а) абсолютная селективная инвариантность имеет место, если

,

т.е. корректирующее устройство или объект управления имеет нули, равные полюсам , изображения возмущения (см. 2.11).

При последовательной компенсации корректирующее устройство по существу является составной частью объекта, что и ограничивает область использования этого метода.

а) f u y б) f

u y

Рис. 3.1 Последовательная (а) и параллельная (б) компенсация

При параллельной компенсации абсолютная инвариантность имеет место, если

т.е. при условии

.

Если инерционные свойства объекта по каналам управления и возмущения примерно одинаковы, то физически осуществимо.

Указанный подход к достижению инвариантности называется принципом двухканальности и предполагает наличие не менее двух каналов передачи воздействия к объекту (см.§1.1).

Параллельная компенсация находит широкое практическое использование. Основная проблема реализации этого подхода достижения инвариантности заключается в получении текущей информации о возмущающем воздействии.

В системе с обратной связью функции компенсатора выполняет автоматический регулятор (рис.2.16а)

Полагая и , имеем

. (3.1)

Из полученного соотношения следует, что абсолютная нвариантность управляемой переменной к возмущению f(t) имеет место на всех частотах, если

а .

При ограниченных значениях коэффициента передачи системы с обратной связью могут быть инвариантны лишь до .

Для обеспечения селективной абсолютной инвариантности системы (рис.2.16а) необходимо, чтобы передаточная функция имела нули, равные полюсам изображения возмущения, т.е. обращалась в нуль на спектре возмущения. Это означает, что при отсутствии соответствующих нулей и полюсов в селективная инвариантность системы достижима, если имеет полюсы . В частном случае , т.е. изображение имеет нулевой полюс кратности , то для селективной абсолютной инвариантности регулятор должен иметь нулевые полюсы той же кратности, т.е. содержать интегрирующих звеньев. Если кратность полюса на единицу меньше кратности полюса возмущения, то может быть достигнута только селективная инвариантность до . Если и, соответственно, , то селективная абсолютная инвариантность имеет место, если включает в себя консервативное звено.

Понятие о методе коэффициентов ошибок и порядке астатизма системы. Если входное воздействие или дифференцируемо по времени, то вынужденную составляющую ошибки можно представить в виде ряда

,

где С₀, С₁, С₂, ... принято называть коэффициентами ошибок. Метод расчета вынужденной составляющей ошибки по коэффициентам С₀, С₁, С₂, … называется методом коэффициентов ошибок.

Коэффициенты ошибок можно определить для дробно-рациональных передаточных функций или делением числителя на знаменатель, располагая члены полинома в порядке возрастания степеней.

Метод коэффициентов ошибок может быть положен в основу классификации систем по точности при обработке входного сигнала вида

.

Основным классификационным признаком при этом служит порядок астатизма , определяемый номером первого не равного нулю коэффициента ошибки по рассматриваемому воздействию.

В инженерной практике порядок астатизма обычно определяют на основе следующего структурного признака.

Порядок астатизма разомкнутой системы равен числу входящих в нее интегрирующих звеньев. Порядок астатизма замкнутой системы относительно воздействия равен числу интегрирующих звеньев, включенных в цепь обратной связи между точками приложения этого воздействия (входом) и измерения ошибки (выходом), и не зависит от числа интегрирующих звеньев, включенных в цепь прямого преобразования сигнала между этими точками. Следует подчеркнуть, что по отношению к управляющему воздействию весь контур системы представляет собой обратную связь.

Правомерность этого правила рассмотрим на примерах статических и астатических систем.

Статическая точность. Пусть передаточные функции регулятора (рис 2.16а) и объекта соответственно равны:

, (3.2)

, (3.3)

где , ; (3.4)

v_p, v₀ – порядок астатизма регулятора и объекта;

К_p, К₀ – коэффициенты передачи регулятора и объекта.

Вынужденную (установившуюся) ошибку можно определить при помощи теоремы о конечном значении оригинала

. (3.5)

Ошибку называют ошибкой воспроизведения, а – ошибкой подавления.

В статическом режиме внешние воздействия постоянны во времени, т.е.

; .

Учитывая, что , получим

(3.6)

В статических системах . При этом

. (3.7)

Таким образом, статическую систему можно определить как систему, вынужденная (установившаяся) погрешность которой в режиме отработки постоянного воздействия пропорциональна величине этого воздействия.

Из полученных формул следует, что точность статической системы тем лучше, чем больше передаточный коэффициент разомкнутого контура , который обычно находится в диапазоне 10...100.

Отношение статической ошибки к нагрузке f, вызвавшей эту ошибку, называют статизмом системы. Обычно статизм вычисляется применительно к номинальному режиму

(3.8)

Отношение статической ошибки замкнутой системы к отклонению выходной переменной при разомкнутом контуре регулирования называют коэффициентом статизма . (3.9)

Коэффициент статизма показывает, что включение статического (пропорционального) регулятора уменьшает статическую ошибку в раз.

Динамическая точность. Если входное воздействие не постоянно, то вынужденную составляющую ошибки часто называют динамической ошибкой. В зависимости от свойств системы и характера внешнего воздействия динамическая ошибка может иметь постоянное значение либо возрастать с течением времени. Вычислить вынужденную составляющую ошибки можно, используя метод коэффициентов ошибок.

Постоянную составляющую сигнала ошибки при изменении внешнего воздействия по закону степенной функции можно (как и статическую ошибку) определить, используя теорему о конечном значении оригинала.

Пусть и

при этом: ; ,

и, используя (3.6), получим

Из полученной формулы следует:

1. Порядок астатизма системы по задающему воздействию равен сумме интегрирующих звеньев, входящих в регулятор и объект управления, а по возмущающему воздействию, приложенному к входу объекта, – порядку астатизма регулятора.

2. Если порядок астатизма  по выбранному каналу равен показателю степени n воздействия, то система имеет установившуюся ошибку. При этом ошибка воспроизведения равна , а ошибка подавления .

3. Если порядок астатизма по выбранному каналу превышает показатель степени воздействия, то вынужденная ошибка по этому каналу равна нулю.

4. Если порядок астатизма по рассматриваемому каналу меньше , то .

Особенности статических и астатических САР рассмотрим на простейших примерах.

Пример 1. Регуляторы давления прямого действия (рис 3.2).

Рис 3.2.

Регуляторы, схемы которых приведены на рис 3.2, предназначены для стабилизации давления Р. Статический регулятор состоит из корпуса 1, поршня (мембраны) 2, пружины 3, уравновешивающей давление Р среды, рычажной системы 4 для передачи усилия на регулирующий орган 5.

В астатическом регуляторе пружины нет, а давление уравновешивается силой тяжести поршня 2.

Изменение расхода G возможно лишь при перемещении регулирующего органа, что приводит в статическом регуляторе к сжатию (растяжению) пружины и соответствующему отклонению давления, необходимого для компенсации усилия, развиваемого пружиной. Таким образом, в статическом регуляторе положение регулирующего органа жестко связано с величиной сигнала рассогласования (ошибки). Зависимость сигнала рассогласования от нагрузки и обуславливает наличие остаточной (статической) ошибки.

В схеме, показанной на рис.3.2б, давление определяется весом поршня, т.е. регулируемый параметр в установившемся режиме не зависит от нагрузки и положения регулирующего органа. Статической ошибки нет, но система с астатическим регулятором рассмотренной конструкции склонна к колебаниям. Для стабилизации работы такой системы можно использовать воздействия по производной от перемещения регулирующего органа.

Различие в статических и астатических системах можно продемонстрировать и на примере системы регулирования напряжения генератора постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 3.3). Потенциометры П1 и П2 служат для формирования задания и обратной связи САР.

Увеличение тока нагрузки из-за уменьшения сопротивления приводит к падению напряжения на клеммах генератора , росту сигнала рассогласования и напряжения возбуждения , что способствует увеличению . Однако в статической системе не достигнет своего первоначального значения, что связано с ростом падения напряжения в обмотке якоря и размагничивающим действием реакции якоря при повышении тока нагрузки.

Рис 3.3 Статическая (а) и астатическая (б) системы автоматического

регулирования напряжения генератора.

В состав астатической системы входит интегрирующий элемент, функцию которого выполняет двигатель М, приводящий в движение ползунок потенциометра ПЗ. Двигатель М будет перемещать ползунок до тех пор, пока сигнал рассогласования не станет равным нулю и напряжение на клеммах генератора не достигнет заданного уровня вне зависимости от тока нагрузки.

Точность при гармонических воздействиях. Точность системы при гармоническом воздействии оценивают отношением амплитуды сигнала ошибки к амплитуде внешнего воздействия: чем меньше это отношение, тем лучше качество работы системы.

Закономерности, характеризующие точность выполнения САУ функций воспроизведения полезного сигнала и подавления помех, проанализируем, используя АЧХ типовой системы. Примем, что помеха возникает в задающем элементе и элементах обратной связи. Такую помеху система воспринимает как задающий сигнал. При этом отношение амплитуды ошибки к амплитуде задающего воздействия определяется модулем комплексного коэффициента передачи

,

соответственно по каналу возмущения

.

Из этих зависимостей следует, что на каждой фиксированной частоте амплитуда сигнала ошибки обратно пропорциональна величине

, где .

Анализ зависимостей и удобно выполнять, используя амплитудно–фазовую характеристику . Модуль вектора с ростом частоты уменьшается от значения коэффициента передачи (для статической системы) или от  (для астатической системы) до нуля, а угол поворота вектора изменяется соответственно от нуля или от до , где – порядок знаменателя, а – порядок числителя передаточной функции (рис 3.4).

Из рис 3.4. следует, что амплитуда вектора по мере роста частоты cначала уменьшается до значения, меньшего единицы, а затем увеличивается и стремится к единице, т.к. при . Следовательно и будут иметь максимум - резонансный пик при частоте , которая приближенно равна (см рис. 3.5).

С учетом сказанного и характерного для САУ условия в области низких частот , на рис 3.5 построены амплитудо–частотные характеристики замкнутой системы.

Рис 3.4. Амплитудно–фазовые

характеристики разомкнутого

контура статической (а) и

астатической (б) систем.

Рис 3.5. Амплитудно–частотные характеристики

статической (1) и астатической (2) САУ.

Из рис 3.5 а) следует, что САУ хорошо выполняет функцию воспроизведения задания в области низких частот . При быстрых изменениях внешних воздействий система из-за инерционности объекта и регулятора не успевает воспроизводить задание, т.е. САУ бесполезна. При частотах близких к резонансной система управления вредна.

Из рис 3.5, б следует, что система управления практически не способна подавлять низкочастотные помехи , возникающие в задающем и измерительном элементах. При больших частотах помеха гасится при прохождении через совокупность инерционных звеньев регулятора и объекта. Если частота помехи близка к , то амплитуда сигнала ошибки превышает амплитуду помехи.

Заключение. Абсолютная селективная инвариантность достигается, если передаточная функция регулятора имеет полюсы, равные полюсам возмущения. Этот результат можно обобщить в виде принципа внутренней модели: в хорошей системе должна присутствовать модель среды.

В селективно абсолютно инвариантной системе установившаяся ошибка равна нулю вне зависимости от уровня воздействия и достигается благодаря бесконечному усилению контура на комплексных частотах возмущения. Именно большое усиление на частотах возмущений и позволяет в замкнутых системах добиваться ослабления их влияния на управляемую переменную.

Порядок астатизма системы  является важнейшим признаком классификации систем по точности и определяется номером первого не равного нулю коэффициента ошибки по рассматриваемому воздействию. Порядок астатизма замкнутой системы по задающему воздействию равен числу интегрирующих звеньев, входящих в регулятор и объект управления, а по возмущению, приложенному ко входу объекта, – определяется числом интегрирующих звеньев регулятора. Система управления должна хорошо выполнять функции воспроизведения заданий и подавления высокочастотных помех, возникающих в задающем и измерительном элементах. Точность воспроизведения системой управления задающего воздействия и точность подавления внешних возмущений тем лучше, чем больше коэффициент передачи регулятора. Включение статического (пропорционального) регулятора уменьшает статическую ошибку в раз.