§3.2 Условия и критерии устойчивости

Понятие и общие условия устойчивости. В простейшем случае понятие устойчивости системы связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения возмущений, которые вывели ее из этого состояния. Понятие устойчивости можно распространить и на более общий случай, когда в качестве невозмущенного состояния рассматривают не положение равновесия системы, а ее движение, например, движение системы по некоторой наперед заданной траектории.

Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если после приложения внешних сил (возмущений), которые затем снимают, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область , где – заданные величины. При этом нужно иметь в виду, что близость траекторий является необходимым, но недостаточным условием устойчивости: расстояние между двумя точками возмущенного и невозмущенного движения может возрастать не только для расходящихся, но и для близких траекторий.

Впервые строгое определение устойчивости дано русским ученым А.М.Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения».

В этой работе А.М.Ляпунов, в частности, доказал возможность исследования устойчивости реальных систем, которые всегда нелинейны, по линеаризованным уравнениям, получаемым путем отбрасывания членов, содержащих различные нелинейности.

Согласно данному выше физическому определению устойчивость зависит от характера свободного движения системы, которое описывается однородным дифференциальным уравнением.

Если свободное движение описывается уравнением

, (3.10)

то возвращение системы в исходное состояние после окончания действия возмущения математически означает

. (3.11)

Такую устойчивость принято называть асимптотической.

Система неустойчива, если свободная составляющая неограниченно возрастает:

. (3.12)

Если условия (3.11) и (3.12) не выполняются, то система находится на границе устойчивости.

Используя математическое определение устойчивости, найдем общее условие, при котором система (3.10) устойчива. Решение уравнения (3.10), если характеристический полином имеет только простые корни , имеет вид: , где – постоянные интегрирования (см. 2.11), определяемые предначальными условиями, а – корни характеристического уравнения.

Из сказанного следует общее условие устойчивости: для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными.

Действительно, каждому вещественному корню соответствует слагаемое . Если , то ; если , то ; если , то .

Каждой паре сопряженных комплексных корней соответствуют слагаемые вида

,

то при получаем тот же результат, но процесс будет колебательным.

Если среди корней характеристического уравнения имеется равных корней , то в решении уравнения (3.10) появится составляющая

.

Функция при любом убывает быстрее, чем возрастает слагаемое вида . Поэтому при , .

Влияние корней характеристического уравнения системы на составляющие ее свободного движения показано на рис. 3.6.

Мнимая ось комплексной плоскости, на которой располагаются корни характеристического уравнения, является границей устойчивости. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни находились в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система будет неустойчивой. Если характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней , а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой . Считается, что система в этом случае находится на колебательной границе устойчивости. Если система имеет один нулевой корень , то система находится на апериодической

Рис.3.6 Влияние корней характеристического уравнения на составляющие ее свободного движения:а)корни действительные; б)комплексные; в)мнимые.

границе устойчивости. Иногда выделяют асимптотическую границу устойчивости: один из корней . При этом соответствующее слагаемое обращается в нуль. Такое состояние имеет место, если коэффициент уравнения при старшей производной равен нулю.

Системы, находящиеся на границе устойчивости, являются негрубыми – могут потерять устойчивость при сколь угодно малых изменениях параметров.

Таким образом, для суждения об устойчивости линейной системы достаточно определить лишь знаки действительных частей корней характеристического уравнения.

В устойчивой системе затухают все составляющие свободных движений, вызванные ненулевыми начальными условиями. Такую устойчивость называют устойчивостью по начальным условиям (по Ляпунову).

Важной характеристикой оператора является устойчивость по входу, определяющая условия устойчивого преобразования входного сигнала в выходной. Устойчивость по входу имеет место, если корни характеристического полинома находятся в левой полуплоскости и передаточная функция звена (системы) физически реализуема, т.е. степень полинома числителя передаточной функции не превышает степень полинома знаменателя. Указанные условия выполняются, если W(p) ограничена по модулю при любых значениях комплексной переменной р с неотрицательной вещественной частью. В устойчивом по входу звене любому ограниченному входному воздействию при нулевых начальных условиях соответствует ограниченный выходной сигнал при любом .

Правила, позволяющие сделать суждение об устойчивости без определения корней характеристического уравнения, называют критериями устойчивости. Критерии устойчивости бывают алгебраическими и частотными. Наибольшее распространение в инженерной практике получили алгебраические критерии Гурвица и Рауса, а также частотные критерии Михайлова и Найквиста. Рассмотрим формулировки и методики применения этих критериев без доказательства их справедливости.

Критерий Гурвица. Критерии Рауса и Гурвица связаны между собой и позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения (3.11).

Порядок многих инженерных задач не превышает 5, поэтому основное внимание уделим критерию Гурвица, позволяющему не только определять устойчивость системы, но и устанавливать аналитические связи между параметрами системы и условиями устойчивости.

Критерий Гурвица был сформулирован и доказан немецким математиком А.Гурвицем в 1895 г. Этот критерий можно рассматривать как обобщение критерия Вышнеградского, который был сформулирован И.А.Вышнеградским в 1876 г. применительно к системам третьего порядка.

Применительно к задачам теории управления критерий Гурвица можно сформулировать так:

для устойчивости линейной системы, описываемой уравнением (3.10) необходимо и достаточно, чтобы при определитель Гурвица и все его главные диагональные миноры были положительными.

Составление определителя Гурвица и его главных диагональных миноров можно проводить в следующей последовательности:

1. По диагонали располагают коэффициенты характеристического уравнения, начиная с до .

2. Затем заполняют столбцы определителя Гурвица так, чтобы вверх от диагональных коэффициентов шли коэффициенты с последовательно убывающими индексами, а вниз – с возрастающими индексами. Если коэффициента с соответствующим индексом нет, то записывают ноль.

3. Каждый диагональный минор получается из предыдущего вычеркиванием нижней строки и последнего столбца.

Для характеристического уравнения четвертого порядка определитель Гурвица имеет вид:

.

Так как последний столбец главного определителя содержит только один коэффициент , отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей

(3.13)

Если главный определитель , а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости. С учетом (3.13) это условие распадается на два:

(3.14)

. (3.15)

Условию соответствует один нулевой корень, т.е. апериодическая граница устойчивости, а условию – пара мнимых, т.е. колебательная граница устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для .

1. Необходимым условием устойчивости является положительность коэффициентов характеристического уравнения.

2. Для систем первого и второго порядка это условие одновременно является и достаточным.

3. Для систем третьего и четвертого порядка достаточное условие устойчивости эквивалентно неравенству . Это условие для уравнения третьего порядка равносильно требованию , т.е. произведение средних коэффициентов должно быть больше произведения крайних. Для уравнения четвертого порядка достаточным является выполнение следующего условия

. (3.16)

Пример. Исследовать влияние коэффициента передачи и постоянных времени и на устойчивость системы, структурная схема которой приведена на рис.3.7.

Рис.3.7 Структурная схема системы