Табличное умножение.

Изучение таблицы умножения является центральной задачей обучения математике во 2 и 3 классе по любой системе обучения. К табличному умножению относят случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых). Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к знаниям умениям и навыкам дети должны знать наизусть. Умножение с числом нуль, умножение с числами 1 и 10 относят к особым случаям.

Изучение табличного умножения (как и табличного сложения) является настолько древней традицией в математической культуре человечества, что трудно даже назвать исторический период, когда дети и обучающиеся наукам взрослые не занимались его изучением.

И.Я. Депман пишет в «Истории арифметики»: «Для облегчения вычислений как устных, так и письменных служили готовые таблицы результатов разных действий над числами. История таких таблиц имеет начало в очень глубокой древности.

По крайней мере 3000 лет до н.э. у народов древнего Вавилона имелись в обращении разнообразные арифметические таблицы, известные нам теперь в большом количестве. Среди них имеются таблицы умножения в пределах 60, таблицы квадратов последовательных чисел, таблицы деления и др.»

Первые приемы составления таблиц умножения связаны со смыслом действия умножения. Результаты этих таблиц получают последовательным сложением одинаковых слагаемых.

Расположенный рядом рисунок помогает ребенку также получить результат пересчетом фигурок. При небольших значениях множителей прием сосчитывания для получения табличного значения произведения вполне приемлем и учитель им часто пользуется при получении результатов таблиц значений умножения двух, трех, четырех. Приведенный пример показывает, что этот прием удобен лишь при небольших значениях второго множителя.

При значении второго множителя больше, чем 5, удобнее использовать для получения результатов табличных значений другой прием: прием прибавления к предыдущему результату.

Например:

Вычисли и запомни:

2 •6 = 2• 5 + 2 = …

2 •7 = 2• 6 + 2 =…

2 •8 = 2• 7 + 2 =…

2 • 9 = 2 • 8 + 2 =…

Следующим приемом, на основе которого составляются таблицы значений умножения чисел, является прием перестановки множителей.

Этот прием фактически является первым математическим законом относительно действия умножения в начальной школе: От перестановки множителей произведение не меняется.

Способ знакомства детей с этим правилом (законом) обусловлен ранее введенным смыслом действия умножения. Используя предметные модели множеств, дети сосчитывают результаты группировки их элементов разными способами, убеждаясь, что результаты не меняются от изменения способов группировки.

Счет элементов рисунка (множества) парами по горизонтали совпадает со счетом элементов тройками по вертикали. Рассмотрение нескольких вариантов подобных случаев дает учителю основание произвести индуктивное обобщение (т.е. обобщение нескольких частных случаев в обобщенном правиле) о том, что перестановка множителей не меняет значение произведения.

На основе этого правила, используемого как прием счета, составляется таблица умножения на 2.

Например:

Используя таблицу умножения числа 2, вычисли и запомни таблицу умножения на 2:

2 •3 = 6 3• 2 = …

2 •4 = 8 4• 2 = … и т. д.

На основе этого же приема составляется таблица умножения на 3. Составление двух первых таблиц распределяется на два урока, что соответственно увеличивает время, отведенное на их заучивание. Каждая из двух последних таблиц составляется на одном уроке, поскольку предполагается, что дети, зная исходную таблицу, не должны отдельно заучивать результаты таблиц, полученных с помощью перестановки множителей. Реально, многие дети учат каждую таблицу отдельно, поскольку недостаточный уровень развития гибкости мышления не позволяет им легко перестроить модель заученной схемы табличного случая в обратном порядке. При этом, многие дети при вычислении случаев вида 9•2 или 8•3 снова возвращаются к приему последовательного сложения, что естественно требует времени для получения результата. Такая ситуация порождается, скорее всего тем, что для значительного числа детей такое разнесение во времени взаимосвязанных случаев умножения (тех, что связаны правилом перестановки множителей) не позволяет сформироваться ассоциативной цепочке, ориентированной именно на взаимосвязь. Та же ситуация прослеживалась у ряда детей при применении свойства перестановки слагаемых для составления таблиц сложения: запомнив случай 3+ 5, такой ребенок учит отдельно случай 5 + 3, поскольку требование выучить этот случай поступает от учителя через 16 уроков после требования заучить первый, и при этом в промежутке заучивалась таблица вида ڤ + 4, ٱ – 4. Иными словами, отсрочка в образовании ассоциативной связи, ориентированной на взаимосвязь этих случаев, оказалась для ребенка слишком большой, что помешало образованию такой связи. Поэтому каждый случай из фактически взаимосвязанной пары учится ребенком наизусть отдельно.

При составлении таблицы умножения числа 5, только первое произведение получают путем сложения одинаковых слагаемых: 5 •5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25

остальные случаи получают приемом прибавления пяти к предыдущему результату: 5 • 6 = 5 •5 + 5 = 30 5• 7 = 5• 6 + 5 = 35 и т.д.

Одновременно с этой таблицей составляется и взаимосвязанная с ней таблица умножения на 5: 6 •5 7• 5 8 •5 9• 5

Таблица умножения числа 6 содержит четыре случая:

6• 6 6 •7 6 •8 6 •9

таблица умножения на 6 содержит три случая: 7 • 6 8 • 6 9 • 6

Таблица умножения числа 7 содержит три случая: 7 • 7 7 • 8 7 • 9

и таблица умножения на 7 содержит два случая: 8 • 7 9 • 7

Таблица умножения числа 8 содержит два случая: 8 • 8 8 • 9 и таблица умножения на 8 содержит один случай: 9 • 8. Таблица умножения числа 9 содержит только один случай: 9 • 9

Теоретический подход к подобному построению системы изучения табличного умножения предполагает, что именно в таком соответствии ребенок и будет запоминать случаи табличного умножения. Наибольшее количество случаев содержит наиболее легкая для запоминания таблица умножения числа 2, а наиболее трудная для запоминания таблица умножения числа 9 содержит всего один случай. Реально, рассматривая каждую новую «порцию» таблицы умножения, учитель обычно восстанавливает весь объем каждой таблицы (все случаи). Даже при условии, что учитель обращает внимание детей на то, что новым случаем на данном уроке является, например, только случай 9 • 9 , а 9 • 8 ,

9 • 7 и т.п. изучались на предыдущих уроках, большая часть детей воспринимает весь предложенный объем как материал для нового заучивания. Таким образом, фактически, для многих детей таблица умножения числа 9 является самой большой и сложной (а это действительно так, если иметь в виду перечень всех случаев, который к ней относится).

Объемность материала, требующего заучивания наизусть, сложность в образовании ассоциативных связей при запоминании взаимосвязанных случаев, необходимость достижения всеми детьми прочного запоминания всех табличных случаев наизусть в установленные программой сроки порождают постоянные проблемы изучения табличного умножения в начальных классах. Данная тема считается одной из наиболее методически сложных тем математики начальных классов. В связи с этим важными являются вопросы, связанные с приемами запоминания ребенком таблицы умножения.