§16. Аппроксимация дифференциального уравнения разностным и ее порядок. Устойчивость. Сходимость

При изложении ответа на этот вопрос следует дать постановку краевой задачи, привести разностную схему, дать определения невязки, аппроксимации и ее порядка, устойчивости, сходимости, сформулировать и доказать теорему о сходимости разностной схемы.

Пусть имеется область с границей Γ и поставлена корректная задача для некоторого дифференциального уравнения с граничными условиями

(46)

(47)

Введем в области сетку с шагом h, состоящую из множества внутренних узлов и множества граничных узлов . Во внутренних узлах заменим уравнение (46) разностной схемой

(48)

а в граничных узлах – разностным аналогом краевых условий (47)

(49)

Индексом h обозначены величины, определенные только на сетке, A_h и R_h – сеточные операторы. Близость разностной схемы (48)-(49) к исходной задаче (46)-(47) будем определять по величине невязки

Определение 1. Говорят, что разностная схема (48)-(49) аппроксимирует задачу (46)-(47), если , при ;

аппроксимация имеет p-й порядок, если , .

Если искомая функция является функцией многих переменных, требуют стремления к нулю шагов по всем переменным. Порядок аппроксимации при этом может оказаться различным по разным переменным. Например, для двух переменных t (время) и x (пространство), шаги сетки соответственно равны τ и h, соотношение при означает p-й порядок аппроксимации по времени и q-й по пространству.

Определение 2. Разностная схема (48)-(49) устойчива, если решение системы разностных уравнений непрерывно зависит от входных данных φ, χ и эта зависимость равномерна относительно шага сетки.

Иными словами, схема устойчива, если для каждого ε>0 найдется такое δ(ε), не зависящее от h, что при и . Здесь - решение задачи (48)-(49) с исходными данными , а - решение задачи (48)-(49) с исходными данными .

Если разностная схема линейна, то разностное решение линейно зависит от входных данных. В этом случае , где K – константа, не зависящая от h, и для линейных схем определение устойчивости принимает вид , где M₁ и M₂ – константы, не зависящие от h.

Непрерывную зависимость решения от функции φ называют устойчивостью по правой части, а от функции χ – устойчивостью по граничным условиям. Устойчивость по граничному условию на гиперплоскости называют устойчивостью по начальным данным.

Определение 3. Говорят, что разностное решение сходится к решению задачи (46)-(47), если при . Разностное решение имеет порядок точности p, если при .

Определение 4. Говорят, что разностная схема (48)-(49) корректна, если ее решение существует и единственно при любых входных данных φ, χ, принадлежащих заданным классам функций, и схема устойчива.

Теорема. Если решение задачи (46)-(47) существует, разностная схема (48)-(49) корректна и аппроксимирует задачу (46)-(47) на данном решении, то разностное решение сходится к точному.

Эту теорему кратко формулируют так: Из аппроксимации и устойчивости следует сходимость.