40

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТАТАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для подготовки к экзамену

ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ

Казань 2006

Печатается по решению научно-методического Совета математического факультета Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета

УДК 519.682

Методические указания для подготовки к экзамену по численным методам – Казань: ТГГПУ, 2006, - 40 с.

Составители:	А.А.Аганин, докт. физ.-мат. наук,профессор; З.Р.Халитова, канд. пед. наук, доцент; Н.А.Хисматуллина, канд. физ.-мат. наук, доцент
Научный редактор -	В.Н.Галеев, канд. пед. наук, доцент
Рецензенты:	Р. Г. Галеев, канд. физ.-мат. наук, доцент (ТГГПУ); В. Г. Малахов, канд. физ.-мат. наук, с.н.с. (ИММ КазНЦ РАН)

© Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение	4
I. Методические указания к ответам на теоретические вопросы
§1. Этапы научного исследования. Роль и место
вычислительного эксперимента и численных методов	5
§2. Основные понятия теории погрешностей. Общая формула
вычисления погрешности	6
§3. Метод Ньютона решения алгебраических и
трансцендентных уравнений	7
§4. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Классификация численных методов	9
§5. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических
уравнений и его модификации	10
§6. Метод простой итерации решения систем линейных
алгебраических уравнений	12
§7. Алгебраическое интерполирование. Исследование
существования и единственности интерполяционного полинома	13
§8. Интерполяционный полином Лагранжа. Оценка остаточного члена	14
§9. Численное интерполирование. Полином Ньютона	16
§10. Численное интегрирование. Формулы Ньютона - Котеса.
Оценка погрешности квадратурных формул	17
§11. Классификация и общая характеристика методов решения
дифференциальных уравнений. Хорошо и плохо
обусловленные задачи	19
§12. Метод Эйлера. Алгоритм и оценка погрешности	21
§13. Методы Рунге-Кутта. Алгоритм и оценка погрешности	23
§14. Численные методы решения краевых задач
для обыкновенных дифференциальных уравнений	25
§15. Идея метода сеток решения уравнений в частных производных	27
§16. Аппроксимация дифференциального уравнения
разностным и ее порядок. Устойчивость. Сходимость	29
§17. Метод сеток решения краевых задач для
дифференциальных уравнений эллиптического типа	31
II. Методические указания к решению задач	34
Список рекомендуемой литературы	40

Введение

Предлагаемое руководство предназначено в помощь студентам математических факультетов педагогических вузов при подготовке к экзамену по курсу «Численные методы». Руководство состоит из двух разделов: в первом приведены методические указания для изучения основных вопросов теоретического материала, второй раздел содержит тексты типовых задач и их решения с подробными комментариями. В первом разделе формулировки экзаменационных вопросов совпадают с названиями соответствующих параграфов. Следует подчеркнуть, что в этих параграфах даны не исчерпывающие ответы на вопросы, а лишь основное содержание и методические указания, которые ни в коей мере не заменяют лекций и учебников.

Так как численные методы решения тех или иных математических задач предполагают компьютерную реализацию, результатом решения задач из второго раздела является компьютерная программа, написанная на языке Turbo Pascal. При решении задачи студент должен продемонстрировать знание постановки соответствующей проблемы, условий применимости и алгоритма решения с помощью того или иного метода, умение составить программу, реализующую численный метод. Теоретический материал, необходимый для решения задач из второго раздела, полностью содержится в первом разделе, в комментариях используются ссылки на необходимые формулы из первого раздела.

I. Методические указания к ответам на теоретические вопросы

§1. Этапы научного исследования. Роль и место вычислительного эксперимента и численных методов

При изложении ответа на этот вопрос следует прокомментировать каждый из этапов современного научного исследования, рассказать о вычислительном эксперименте, его преимуществах перед натурным экспериментом и недостатках, значении численных методов в организации вычислительного эксперимента.

С появлением вычислительной техники изменилась технология научных исследований, увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить овладение ядерной энергией и освоение космоса, стало возможным благодаря развитию и применению математического моделирования и численных методов, предназначенных для ЭВМ. Рассмотрим этапы решения современных задач.

Пусть требуется изучить некоторый физический процесс. Выделяют следующие этапы современного научного исследования:

- описание изучаемого явления или процесса;

• построение его физической модели (выявление конечного числа существенных для целей исследования связей); примеры физических моделей: идеальный газ, несжимаемая жидкость, абсолютно твердое тело;

• построение математической модели (постановка математической задачи, описывающей физическую модель); чаще всего это задача Коши или краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения в частных производных или их системы;

• выбор или разработка метода решения поставленной на предыдущем этапе математической задачи; этот метод, как правило, является численным;

• разработка алгоритма, составление программы, ее отладка;

• вычислительный эксперимент;

• анализ результатов. В зависимости от выводов этого анализа возможен пересмотр результатов любого из перечисленных этапов.

Вычислительный эксперимент – это массовые многопараметрические расчеты по составленной программе с целью изучения явления на различных режимах и выяснения границ применимости исследуемых моделей. Вычислительный эксперимент не может полностью заменить натурный, но сильно удешевляет исследование, позволяет подготовить натурный эксперимент, сделать его более безопасным для людей и окружающей среды.